13. Законы ньютона для моментов сил.

Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного вращательного движения, если равнодействующая всех моментов сил действующих на это тело равна нулю.

Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного вращательного движения называется инертностью.

Момент инерции — физическая величина, определяющая, ее инерциальные свойства при вращательном движении.

Под действием момента сил, тела изменяют свою угловую скорость.

Момент силы характеризуется величиной, направлением и является мерой механического воздействия на тело. Равнодействующей всех моментов сил, действующих на тело, называется векторная сумма всех моментов сил, действующих на тело, М_рез. = SМ_i.= 0.

Угловое ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующему на тело результирующему моменту силе и обратно пропорционально моменту инерции. М_рез. = Iε = dL/dt.

Моменты силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению, но никогда не уравновешивают друг друга, поскольку приложены к разным телам, хотя и имеют одну природу. М₁₂ = - М₂₁.

14. Работа при вращении твердого тела.

Если сила F приложена к точке О, находящейся от оси вращения на расстоянии r, а a - угол между направлением силы и радиус-вектором r, то работа этой силы при вращении абсолютно твердого тела определяется углом поворота тела. При повороте на малый угол dj точка приложения силы О проходит путь ds = rdj и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на смещение: dA = F.sina.rdj = Mdj.

Работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота. Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: dA = dW_k, но dW_k. = d(Jw²/2) = Jwdw, поэтому Mdj = Jwdw, или M(dj/dt) = Jw(dw/dt). С учетом того, что dw/dt = e и dj/dt = w, получим M = Je, уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

15. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА.

Момент импульса относительно неподвижной оси О: L = [r.p] = [r.mv],

где r - радиус-вектор, проведенный из точки О к точке приложения силы; p =mv - импульс; L - вектор, направленный по оси вращения. Модуль вектора |L| = rp.sina = mvr.sina= p.l где a -угол между векторами r и р, l -плечо вектора р относительно оси О. Заменив v = wr, получим L= mwr² = mr²w = Jw. Момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Продифференцировав по времени dL/dt = Jdw/dt = J.e = M.

16. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА.

В замкнутой системе нет внешних сил и их момента, т.е.

M = 0 и dL/dt = 0, откуда L = const.

Контрольные вопросы.

1. Как связаны между собой линейные и угловые величины?

2. Запишите уравнение углового движения?

3. Что такое моментом инерции? Запишите теорему Штейнера.

4. Что такое момент силы?

5. Запишите законы Ньютона для вращательного движения.

6. Что такое момент импульса? Запишите закон сохранения момента импульса.

Методика эксперимента и вывод расчетной формулы

Маятник Обербека представляет собой крестовину, которая с малым трением может вращаться вокруг горизонтальной оси. С крестовиной скреплен вал диаметром d, на который можно наматывать нить, перекинутую через неподвижный блок. К свободному концу нити прикреплен груз массой m. На стержнях крестовины можно укреплять грузы массой m₀. При отсутствии грузов на стержнях маятник Обербека имеет собственный момент инерции J₀. Если систему предоставить самой себе, то груз m будет ускоренно опускаться приводя в движение маятник. Высоту опускания груза h отсчитывают по вертикальной шкале укреплённой на стене, а время, В течении которого груз проходит расстояние h , измеряют электрическим секундомером.

На груз, движущийся поступательно, действуют силы тяжести mg и сила натяжения нити T. По второму закону Ньютона ma = mg – F.

К рестовина совершает вращательное движение под действием момента силы натяжения нити T. Сумма моментов, силы тяжести, приложенной к маховику, и силы реакции оси равна нулю, т.к. линии действия этих сил проходят через ось вращения.

Согласно основному закону динамики вращательного движения Jε = M, где J – момент инерции маховика, ε – его угловое ускорение,

M = [F R] - момент силы F, R = d/2 – радиус вала, d – диаметр вала.

Ускорение груза равно ускорению любой точки нити и соответственно тангенциальному ускорению точек, лежащих на поверхности вала. Оно связанно с угловым ускорением соотношением: a = a_τ = εR. При равноускоренном движении h = at²/2. a = 2h/t². из ε = a/R = 2h/(t²d/2),

ε = 4h/t²d. Отсюда F = m(g – a), M = F(d/2), M = m(d/2) (g – 2h/t²).

В первой части работы на маховике дополнительных грузов нет, его момент инерции постоянен J₀. Меняя грузы, движущиеся поступательно, мы тем самым изменяет момент силы F, соответственно, изменяется и угловое ускорение маховика. Запишем уравнение динамики вращательного движения для разных опытов. I₀ε₁ = M₁, I₀ε₂ = M₂. Из этих уравнений следует, что (ε₂/ε₁ = M₂/M₁).

Это соотношение и предлагается проверить в первой части работы.

Во второй части работы на крестовине помещают дополнительные грузы – сначала два, а затем четыре, тем самым изменяя момент инерции маховика. Поступательно движущийся груз остаётся неизменным. Запишем уравнение динамики вращательного движения для разных опытов. I₁ε₁ = M, I₂ε₂ = M₁. Здесь I₁ - момент инерции маховика с двумя грузами, I₂ – с четырьмя грузами: I₁ = I₀ + 2m₀R². I₂ = I₀ + 4m₀R².

Из этих уравнений следует, что (ε₂/ε₁ = I₁/I₂).

Это соотношение и предлагается проверить во 2-ой части работы.

Порядок выполнения работы. Часть 1

1. Освободить крестовину от дополнительных грузов, если таковые имеются.

2. Положить груз на платформу, прикреплённую к шнуру, найти суммарную массу m платформы и груза.

3. Вращая крестовину, поднять груз на такую высоту, чтобы край платформы совпадал с нулевым делением вертикальной шкалы.

4. Опустив колесо, измерить время t, в течении которого груз опустится на высоту h. Измерения времени произвести три раза.

5. Изменив массу груза на платформе, выполнить пункты 2-3.

6. С помощью штангенциркуля произвести измерение диаметра вала.

7. Результат измерения занести в таблицу.

8. По формулам рассчитать угловое ускорение и момент силы.

9. По формуле I₀ = M/ε вычислить момент инерции крестовины.