8

Лабораторная работа. № 2-1. Б-209.

Изучение основного закона динамики вращательного движения на маятнике Обербека.

Цель работы: Изучение законов динамики поступательного и вращательного движения.

Приборы и принадлежности: Маятник Обербека, набор грузов, штангенциркуль, электрический секундомер, метрическая шкала.

А. Основные понятия.

1. Поступательное и вращательное движения.

Поступательное движение — это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению.

Вращательное движение - это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Любое движение можно представить как сумму поступательного и вращательного движений. Уравнения, характеризующие изменения координат (как линейных, так и угловых), называются кинематическим уравнениями движения.

2. Скорость.

Скоростью движения тела является вектор, характеризующий величину изменения координат тела с течением времени и направление этого изменения.

v = lim<v> = lim Dr/Dt = dr/dt.

Dt®0 Dt®0

3. Ускорение

Ускорение — это вектор, характеризующий изменение величины и направления скорости с течением времени.

a = lim<a> = limDv/Dt = dv/dt = d²r/dt²,

Dt®0 Dt®0

При криволинейном движении вектор полного ускорения целесообразно разложить по двум составляющим — тангенциальному ускорению a_t , направленному по касательной к траектории в сторону изменения скорости, и перпендикулярному ему нормальному (центростремительному) ускорению a_n , направленному по радиусу к центру траектории. Полное ускорение будет геометрической суммой тангенциальной и нормальной составляющих a = a_t + a_n.

Тангенциальное ускорение отвечает за изменение модуля скорости, а нормальное ускорение — за изменение направления скорости.

4. Уравнения движения.

1) равномерное прямолинейное движение:

a = a_t = a_n = 0; v = const. s = vt.

2) равноускоренное прямо линейное движение:

a_n = 0; a = a_t = const. v = v₀ + at; s = s₀ + v₀t + at²/2,

3) равномерное движение по окружности:

a = a_n = const. a_t = 0; v = const; v = 2pR/T;

a_n= v²/R = (2pR)²/RT² = (4p2R)/T²

4) равноускоренное движении по окружности

a_t = dv/dt = R.dw/dt = Re; a_n = v²/R = w²R;

a² = a_t² + a_n² = (dv/dt)² + (v²/R)² = R(e² + w²).

5. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ.

При криволинейном движении удобнее использовать вместо линейных характеристик движения угловые:

а) угловое перемещение Dj, т.е. разница угловых координат начального и конечного положения точек,

б) угловую скорость w, т.е. изменение величины угла с течением времени (или первой производной от углового перемещения по времени),

в) угловое ускорение e, т.е. изменение величины угловой скорости с течением времени (или первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла по времени).

w = lim(Dj/Dt) = dj/dt

Dt®0

w направлена вдоль оси вращения по правилу правого винта.

Векторы, связанные с направлениями осей вращения, называются псевдо-векторами, и не имеют определенных точек приложения.

Если w = const, то вращение равномерное и характеризуется

периодом вращения T — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2p. Так как промежутку времени Dt = T соответствует Dj=2p, то w=2p/T, откуда T = 2p/w.

Число полных оборотов, совершаемых при равномерном вращении, называется частотой вращения: n = 1/T = w/2p, откуда w = 2pn.

Вектор углового ускорения направлен по оси вращения. Тангенциальная составляющая ускорения a_t=dv/dt; v=wR и a_t=d(wR)/dt=Rdw/dt=Re.

Нормальная составляющая ускорения a_n = v²/R = w²R.

Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами: s = Rj. v = Rw, a_t = Re, a_n = Rw².

При равноускоренном движении по окружности: a_t = const.

w = w₀ + et; j = j₀ + w₀t + (et²)/2. Для частного случая криволинейного движения — движения по окружности радиуса R, угловые характеристики движения связаны с линейными характеристиками весьма просто: Dj = Ds/R; w = dj/dt = v/R; e = dw/dt = d²j/dt² = a/R.