17. Работа при вращении твердого тела.

Если сила F приложена к точке О, находящейся от оси вращения на расстоянии r, а a - угол между направлением силы и радиус-вектором r, то работа этой силы при вращении абсолютно твердого тела определяется углом поворота тела. При повороте на малый угол dj точка приложения силы О проходит путь ds = rdj и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на смещение:

dA = F.sina.rdj = Mdj.

Работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота. Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

dA = dW_k,

но

dW_k. = d(Jw²/2) = Jwdw,

поэтому

Mdj = Jwdw

или

M(dj/dt) = Jw(dw/dt).

С учетом того, что dw/dt = e и dj/dt = w,

получим

M = Je,

уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

Контрольные вопросы.

1. Что такое вращательное движение?

2. Что такое моментом инерции?

3. Запишите теорему Штейнера. Запишите моменты инерции простых тел.

4. Что такое момент силы?

5. Запишите законы Ньютона для вращательного движения.

6. Что такое момент импульса? Запишите закон сохранения момента импульса.

Методика и техника эксперимента.

Установка представляет собой маховое колесо, которое может вращаться вокруг горизонтальной оси. На вал колеса навит перекинутый через блок шнур, к свободному концу которого прикреплен груз массой m . Если систему предоставить самой себе, то груз будет ускоренно опускаться, приводя в движение колесо, причем ускорение будет зависеть от момента инерции колеса. На груз, движущийся поступательно, действуют сила тяжести mg и сила натяжения нити T. По второму закону Ньютона

. ma = mg – T. Колесо совершает вращательное движение под действием момента силы натяжения нити T. Момент силы тяжести, приложенной к маховику, и момент силы реакции оси равны нулю, т.к. линии действия этих сил проходят через ось вращения. Согласно основному закону динамики вращательного движения имеем:

.Iέ = M , где I - момент инерции маховика, e - его угловое ускорение,

M = TR - момент силы T, R – d/2

- радиус вала, d - диаметр вала.

Ускорение груза равно ускорению любой точки нити и, соответственно, тангенциальному ускорению точек, лежащих на поверхности вала. Оно связано с угловым ускорением соотношением .a = a_τ = έR. При равноускоренном движении h = at²/2. Решив систему уравнений относительно момента инерции, получим момент инерции

I = mR²(g/a – 1). С учетом того, что .a = 2h/t², и R = d/2, окончательно получим I = (md²/4) (gt²/2h – 1). И получим окончательную формулу для расчета момента инерции установки I = [mR(gt – 2h)]/2h. Анализ абсолютной погрешности величины I, вычисленной дифференцированием

∆I = mgRt √[(t/h – 2/gt)∆R]² + [R∆t/h]² – [(tR∆h/2h]².

позволяет утверждать, что увеличение массы m приводит к увеличению погрешности. Поэтому целесообразно опыт выполнить с многократным измерением времени падения t , для наименьшего груза m = m₀ .Произвести однократные измерения для масс m = 2m_0, и m = 3m_0.

.h₁ = at²/2, откуда a = 2h₁/t², v = at = 2h₁/t и  = V/r = 2h₁/tr.