Глава 2: параграф 1: непрерывность функции.

Понятие о непрерывности функции описывает непрерывные процессы в округе… Непрерывные функции описывают непрерывные процессы.

Будем обозначать: – приращение аргумента.

– приращение функции.

Опр. 1:Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки и бесконечно малое приращение аргумента соответствует бесконечно малому приращению функции

Под окрестностью точки понимают любую – окрестность этой точки.

Запишем на языке – окрестностей, используя определение предела функции.

Опр. 2:Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки и по любому можно указать , то при выполнении: следует:

Запишем формулу ещё в другом виде:

позволяет сформулировать следующее определение, равносильное предыдущему.

Опр. 3:Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки и предел функции равен функции предельного значения аргумента.

Для непрерывной функции знаки предела и функции можно поменять местами. Запишем уравнение , употребляя пределы с лева и с права. Заметим, что если существует двусторонний предел, то существует оба односторонних предела и они равны между собой, поэтому может быть записана в следующей эквивалентной форме:

Опр. 4:Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки , существуют конечные пределы с лева и с права и выполняется равенство: .

Пределы с лева и справа равны между собой и равны значению функции в точке.

Опр. 5:Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

ПАРАГРАФ 2: ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ.

Опр. 1:Точка называется точкой разрыва функции , если нарушается хотя бы одно из условий определения непрерывности функции; используемопр. 4:

Нарушение: – Условие:

1.

Функция определена в точках, где обращается в ноль.

Эта функция разрывна во всех точках области определения функции, т. к. эти точки изолированы без окрестности.

2. Если пределы с лева и с права не являются конечными