Параграф 8: бесконечно большие величины.

Опр. 1: Переменная , называется бесконечно большой, если для любого, сколь угодно большого, числа существует такой номер , что если

Неравенство (1) равносильно объединению 2-х неравенств: (где– «или»)

по другому:

Опр. 2: Объединения 2-х промежутков , называются -окрестность бесконечности.

Бесконечно большие величины при своём изменении начиная с некоторого номера попадает в окрестность бесконечности и там далее остаётся.

Пример: , если

1)

2)

-2, 4, -8, 16, -32, …

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5

Будем различать положительные и отрицательные бесконечно большие величины

– положительные б.б.

– отрицательные б.б.

Леммы о бесконечно больших.

ЛЕММА №1:

Величина обратная бесконечно малой есть бесконечно большая величина, и обратно…

Доказательство:

Пусть ,

Это значит, что для любого сколь угодно большого числа существуетNтакой, что при следует выполнение неравенства:

ЛЕММА №2:

Произведение бесконечно большой величины на переменную, стремящуюся к конечному пределу отличного от нуля, есть бесконечно большая величина.

Параграф 9: теоремы о пределах.

ТЕОРЕМА №1:(о единственности предела).

Если переменная имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство:

От противного: Предположим, что имеет различных пределов.

По лемме №1 о б.м. имеют места 2 равенства:

Вычтем почленно из одного неравенства другое:

Это равенство противоречиво, т.к. с лева постоянное число неравное нулю, а справа, стремящаяся к нулю. Постоянное число не может стремиться к нулю. Противоречие доказывает теорему.

ТЕОРЕМА №2:(о предельном переходе в неравенстве.).

Пусть при всех nвыполняется неравенство

,и переменные иимеют пределы:

;

Тогда:, т. е. .

Теорема означает, что в неравенстве можно переходить к пределам, сохраняя знак неравенства.

Доказательство:(от противного)

Предположим, что

Выделим вокруг точек истоль малыеE – окрестности, чтобы они не пересекались.

По определению предела, начиная с некоторого номера n,переменные и попадут в своиE – окрестности предельных точек.

Это означает, что, начиная с некоторого номера n, что противоречит условию. Противоречие доказывает теорему, ч. т. д.

Замечание:

Если при всех nвыполняется (строго), то гарантировать строгого неравенства в пределе нельзя (в общем случае), гарантируется лишь нестрогое неравенство.

ПРИМЕР:

ТЕОРЕМА №3:(о стабилизации знака неравенства.).

Пусть предел и , тогда, начиная с некоторого номераn, переменная .

Доказательство:

Выберем столь малую E – окрестность точки , чтобы она целиком располагалась правее_.По определению предела, начиная с некоторого номераn, переменная попадает вE – окрестность точки _.Но это и означает, что для этихn:

Замечание:

Аналогично доказывается теорема о том, что если и , то, начиная с некоторого номераn, выполняется неравенство: .

ТЕОРЕМА №4:(арифметические операции над переменными, имеющими предел).

Пусть существуют пределы: и , тогда существуют пределы переменных:

1.

2.

3.

1.

2.

3.

Доказательство:

Доказываем второй случай, остальные доказываются аналогично.

2 случай:

,

.

По Лемме №1 о бесконечно малых выполняется:

– сумма трех переменных.

Переменная представилась в виде суммы: постоянной и бесконечно малой , это и означает, что постоянная и есть предел этой переменной.

, ч. т. д.

Эта теорема представляет другие возможности вычисления предела:

ТЕОРЕМА №5:(об ограниченности переменной, имеющей конечный предел).

Пусть переменная имеет конечный предел , тогда эта переменная является ограниченной переменной, что означает, что при всехn имеет место неравенство , где и – некоторые постоянные числа.

Доказательство:

Возьмем производную , по определению предела существует такой номер ,что при следует выполнение неравенства:

Значение переменной, которые могут не удовлетворять неравенство (*)лишь конечное число:

Рассмотрим множество чисел: выберем из них самое большое и обозначим , тогда при всех выполняется: , ч. т. д.

ТЕОРЕМА №6:(о сжатой переменной).

Пусть, начиная с некоторого , выполняются неравенства , причем крайние переменные имеют одинаковый конечный предел , тогда переменная также имеет предел, причем тот же самый.

Доказательство:

Возьмём любое , по определению предела начиная с некоторого номера будут выполняться неравенства:

и

В силу неравенств (*)выполняется неравенство (начиная с некоторого номера ):

Это и означает, что переменная имеет пределом .

, ч. т. д.