Затухающие гармонические колебания

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае, сила сопротивления пропорциональна величине скорости:

,

где R – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус обусловлен тем, что сила имеют противоположные направления; следовательно, их проекции на ось х имеют разные знаки.

Второй закон Ньютона при наличии сил сопротивления имеет вид:

Применив обозначения:

получим: - (4)

- дифференциальное уравнение затухающих гармонических колебаний.

Отметим, что представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды (при R = 0). Эту частоту называют собственной частотой системы.

При не слишком сильном затухании (при < ) общее решение уравнения (4) имеет вид: , (5)

где A₀ и - произвольные постоянные, - величина, определяемая формулой . На рисунке дан график функции (5). Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки х.

В соответствии с видом функции (5) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты с амплитудой, изменяющейся по закону:

.

Верхняя из пунктирных кривых дает график функции A(t), причем величина представляет собой амплитуду в начальный момент времени.

Скорость затухания колебаний определяется величиной , которую называют коэффициентом затухания.

Период затухания колебаний равен:

(6)

При незначительном сопротивлении среды () период колебаний практически не изменяется и равен . Последующие наибольшие отклонения в какую–либо сторону (например, и т.д. на рис.) образуют геометрическую прогрессию. Действительно, если , то , и т.д.

Вообще, отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно:

Это соотношение называется декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания.

. (7)

Для характеристики колебательной системы обычно используется логарифмический декремент затухания . Выразив в соответствии с (7) через и , можно закон убывания амплитуды со временем записать в виде:

.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина

, называемая добротностью колебательной системы.

Ранее мы установили, что полная энергия колеблющейся системы пропорциональна квадрату амплитуды. В соответствии с этим энергия системы при затухающих колебаниях убывает со временем по закону:

,

где - значение энергии при .

Из формулы периода затухающих колебаний (6) следует, что с ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается. При период колебаний обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим.

При решение дифференциального уравнения (5) оказывается равным сумме двух экспонент:

, где и - постоянные, значения которых зависят от начальных условий (от и ),

,

.

Движение в этом случае носит апериодический (непериодический) характер – выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.

На рисунке показано два возможных способа возвращения системы к положению равновесия при апериодическом движении. Каким из этих способов приходит система к положению равновесия, зависит от начальных условий.