4.3.6. Метод Ньютона

Метод Ньютона является одним из наиболее надежных, обеспечивающих быструю сходимость решения системы .

В методе Ньютона первого порядка функция небаланса токов заменяется разложением в ряд Тейлора в точке с текущим значением .

откуда определяется приращение

и новое значение узловых напряжений

Здесь используется та же матрица Якоби, требующая, правда, выполнения трудоёмкой операции обращения. Блок-схема алгоритма показана на рис. 19.

Блоки алгоритма выполняют следующие функции.

1. Исходное приближение .

2. Вычисление небалансов в узлах и нормы

3. Проверка условия .

4. Вычисление матрицы .

5. Обращение матрицы Якоби.

6. Вычисление очередного приближения .

Рис. 19. Блок схема

Проведенные исследования показывают, что вычисление обратной матрицы без значительного ухудшения сходимости может выполняться не на каждом шаге итеративного процесса, а 1 раз на 10-15 шагов:

Операция обращения матрицы может быть заменена решением системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Для поиска неизвестного приращения обычно применяется метод исключения Гаусса, учитывающий слабую заполненность матрицы Якоби.

Дальнейшее улучшение сходимости достигается за счет использования метода Ньютона второго порядка.

В этом методе аппроксимирующая небалансы узловых токов функция заменяется рядом Тейлора с учетом еще одного слагаемого

Недостатком метода Ньютона является сложность алгоритма и сильная зависимость характера итерационного процесса от начального приближения.

4.3.7. Пример расчета простейшей электрической сети итерационным методом

Кольцевая электрическая сеть, представленная на рис. 20, обеспечивает два промышленных предприятия. Номинальное напряжение сети . ЛЭП выполнены проводом АС, длины линий (км), нагрузки (МВ·А) указаны на схеме сети; напряжение задано на шинах источника электроэнергии .