4.3.5. Градиентный метод
Градиентный метод является одним из основных методов решения задач нелинейного программирования, т.е. поиска минимума некоторой целевой функции.
,
где
–
вектор неизвестных.
При решении системы нелинейных уравнений (1) целевая функция формируется как среднеквадратический небаланс узловых токов.
где
–
небаланс тока в i-м
узле.
Использование
градиентного метода позволяет учесть
коэффициенты трансформации –
.
При этом принимается, что сопротивления
трансформаторных ветвей вводятся
приведенными к стороне высокого
напряжения, а
определяется
отношением
.
Действительная и мнимая составляющие тока небаланса определяются из (1)
где
– множество узлов, включая балансирующий,
которые имеют непосредственную связь
с i-м;
,
–
составляющие узлового тока;
,
–
собственные
проводимости узлов;
,
–
взаимные
проводимости.
Все элементы матрицы узловых проводимостей определяются по параметрам ветвей схемы сети с учетом ёмкостной проводимости ЛЭП и коэффициентов трансформации для узлов, соответствующих стороне среднего напряжения автотрансформаторов.
Поиск
минимума
осуществляется
в соответствии с алгоритмом, блок-схема
которого приведена на рис. 18. Для
определения оптимального шага здесь
используется пробный шаг
,
позволяющий оценить изменение функции
в каждой точке в направлении антиградиента.
Блоки
выполняют следующие функции:
1.
Задание исходного приближения
.
2.
Определение
.
3.
Проверка условия
.
4.
Вычисление градиента
.
5.
Вычисление
в конце пробного шага
:
.
6. Вычисление градиента в конце пробного шага
.
7. Вычисление оптимального шага
Рис.
18. Блок схема 8. Рабочий шаг
.
Составляющая
градиента целевой функции по всем
неизвестным составляющим узловых
напряжений
,
,
,
,
например,
определяется
следующим образом
(6)
Производные небалансов активного и реактивного токов по составляющим напряжений имеют вид:
(7)
Производные узловых токов можно получить из выражений:
(8)
Входящие в (7) производные будут:
(9)
Полученные
по (7) с учетом (9) производные являются
элементами матрицы
,
называемой матрицей Якоби.
При
разделении векторов
и
на действительные и мнимые составляющие
матрица Якоби разбивается на блочные
подматрицы.
Недиагональные элементы подматриц определяются параметрами системы, причем некоторые проводимости, относящиеся к узлам среднего напряжения автотрансформаторов, зависят от положения отпаек.
Диагональные элементы подматриц определяются параметрами режима, т.е. узловыми мощностями и напряжениями.
Вектор-градиент
в текущей точке
определяется
по следующему матричному выражению
В градиентном методе наиболее эффективны первые шаги. В дальнейшем приближение к точке, являющейся решением, происходит очень медленно.