Планування другого порядку
Мета роботи: — вивчення методів планування експерименту для отримання математичного опису у вигляді полінома другого порядку і використовування того опису для прогнозу координат оптимуму
ТЕОРЕТИЧНИЙ ОПИС
Загальні положення
1.1 Повний експеримент фактора
Для
побудови лінійних і неповних статечних
математичних моделей застосовують
повний факторний експеримент, що володіє
ортогональною матрицею планування.
Математичний опис поверхні відгуку
об'єкту в околиці точки базового режиму
можна
одержати варіюванням кожного з факторів
на двох рівнях, відмінних від базового
рівня
на величину інтервалу варіювання
.
Інтервал
варіювання по
кожному
керованому фактору вибирають так, щоб
приріст, величини відгуку
до базового значення
при реалізації
можна було виділити на фоні «шуму» при
невеликому числі паралельних дослідів.
Повним
факторним
експериментом
(ПФЕ)
називається
експеримент, що реалізовує всі можливі
комбінації рівнів, що не повторюються
n
незалежних
керованих факторів,
кожний з яких варіюють на двох рівнях.
Число цих комбінацій
визначає тип ПФЕ. Для спрощення подальший
виклад побудуємо на прикладі планування
типу
,
тобто на прикладі об'єкту з трьома (n=3)
незалежними
керованими факторами
.
Процес
знаходження моделі (ідентифікації)
медом ПФЕ стоїть з: 1) планування
експерименту; 2) проведення експерименту
на об'єкті дослідження; 3) перевірки
відтворності (однорідності вибіркових
дисперсій
)
експерименту; 4) отримання математичної
моделі об'єкту з перевіркою статистичної
значущості вибіркових коефіцієнтів
регресії; 5) перевірки адекватності
математичного опису.
1.2 Дробовий факторний експеримент
Для оптимізації статичних об'єктів управління широко використовують математичні моделі у вигляді поліномів другого порядку, з достатньою точністю що описують поведінку об'єкту в околиці екстремальної крапки (в «майже стаціонарній» області):
де n — загальне число основних чинників.
Для отримання квадратичних моделей користуються результатами експерименту, проведеного за планом другого порядку. Якщо виконуються умови: 1) помилки спостережень розподілені по нормальному закону з нульовим середнім і кінцевою дисперсією; 2) вхідні змінні вимірюються без помилок; 3) спостереження незалежні, — то для обробки експериментальних даних застосовують метод регресійного аналізу, причому обчислювальна процедура оцінювання невідомих коефіцієнтів рівняння регресії заснована па методі найменших квадратів.
Плани
другого порядку відрізняються від
лінійних планів тим, що фактори варіюють
на декількох рівнях, мінімум на трьох.
При побудові планів другого порядку,
що описують майже стаціонарну область,
враховується ідея крокового експерименту,
у зв'язку з чим використовують центральні
композиційні (тобто ті, що будуються
послідовно) плани (ЦКП), що складаються
з трьох блоків
,
що включають: 1) точки повного або
дробового
факторного
експерименту; 2) «зоряні»
точки
(план типу «хреста»)
;
3)
нульові
(центральні) точки
.
Загальне число
точок ЦКП визначається формулою
.
Композиційність планів дозволяє
заощадити деяке число дослідів.
Як
приклад табл.1 приведені точки плану
другого порядку для трьох факторів, які
варіюються на п'яти рівнях і нормовані
значення яких *
.
Таблиця 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
2 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
5 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
6 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
7 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
9 |
+1 |
- |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
10 |
+1 |
+ |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
11 |
+1 |
0 |
- |
0 |
0 |
|
0 |
12 |
+1 |
0 |
+ |
0 |
0 |
|
0 |
13 |
+1 |
0 |
0 |
- |
0 |
0 |
|
14 |
+1 |
0 |
0 |
+ |
0 |
0 |
|
15 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
R
При побудові планів використовують різні критерій оптимальності планування. Найбільш ширше використання одержали наступні плани: 1) ортогональні, 2) ротатабельні, 3) D - оптимальні.
При ортогональному плануванні коефіцієнти рівняння репресії оцінюються незалежно з мінімальними дисперсіями, причому фактори з незначущими коефіцієнтами можна відразу відкидати, без перерахунку значущих коефіцієнтів, що залишилися, як це необхідне при не ортогональних планах.
Ротатабельні плани дозволяють одержувати рівняння регресії, які прогнозують значення вихідної величини об'єкту з однаковою точністю на всіх напрямках на однаковій відстані від центру плану.
Точність оцінювання коефіцієнтів регресії характеризується еліпсоїдом розсіяння їх оцінок. Планування, при якому вимагається, щоб об'єм еліпсоїда розсіяння оцінок коефіцієнтів був мінімальним, називається D - оптимальним.
Розглянемо ортогональне і ротатабельне центральне композиційне планування (ОЦКП і РЦКП) другого порядку.