13. Определение функции от матрицы. Свойства функций от матриц. Ф-ии от матриц

Пусть – некоторая функция скалярного аргумента, . Нужно найти , т.е. нужно распространить на матричное значение аргумента. В случае, когда многочлен решение задачи известно. Потому важно определить для произвольной функции .

Пусть – минимальный многочлен матрицы А (нормированный и миним.степени) и пусть , где – собственные значения матрицы А и (т.к. ). .

Рассмотрим две функции и . Обозначим через . Предположив по построению, имеем что . Сл-но, – аннулирующий многочлен для матрицы А, а всякий аннулирующий многочлен делится на соответствующий минимальный многочлен матрицы А,

Пусть – спектр матрицы А, тогда

т.е. получили, что

Если многочлены и принимают одинаковые значения при , то они принимают одинаковые значения на (*) и более того их производные до порядка включительно тоже принимают одинаковые значения на . Верно и обратное.

Определение 1. Пусть произвольная функция. Числа такие, что называют значениями функции на Т.е. . Если функция не определена на , то не определено и значение матрицы А. Т.о., что если нам известно, что значения , то и наоборот.

Для определения достаточно найти многочлен , который бы принимал на те же значения что и функция , тогда .

Определение. Говорят, что функция определена на , если определены все значения

Определение. Если функция определена на , то значение определено как значение некоторого многочлена при , который принимает те же значения на , что и сама функция . Такой многочлен называется многочленом Лагранжа-Сильвестра. Базисный мн-н . Интерполяц. мн-н : L(x)= .

СВ1. Если и – собственные знач. А(кратные), тогда собственные значения f(A).

СВ2. -произвольная ф-ия на . Тогда если – собственные знач. А, то собственные значения f(A).

СВ3. -произвольная ф-ия на или на . Тогда если , собственные значения (A) и f(В) совподают, .

СВ4. -произвольная ф-ия на . Тогда f(A)- блочно-диагон.матрица, т.е. .

14. Задача Коши для дифференциального уравнения и для системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения для уравнения первого порядка в нормальной форме.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида: где – известная функция от независимой переменной х, искомой функции у (х) и производных этой функции до n-го порядка. Порядком ОДУ называется наивысший порядок производной, которая содержится в этом уравнении.

Все ДУ разбиваются на 2:

• Обыкновенные, т.е. уравнения, которые связывают искомую функцию одной переменной и ее производные.

• ДУ в частных производных, такие которые связывают искомую функцию от 2 и более переменных и ее частные производные по этим переменным.

Задача Коши. Необходимо найти решение ДУ, удовлетворяющее условиям: , где - заданные числа, которые называются начальными условиями. Для уравнения первого порядка вида (1) геометрический смысл решения задачи Коши заключается в том, чтобы из семейства интегральных кривых удовлетворяющих данному уравнению выделить конкретную кривую, проходящую через точку с координатами . Если задано ДУ второго порядка, то в качестве начальных условий берут значение независимой переменой , искомой функции и производной этой функции .

Решение задачи Коши для уравнения n-ого порядка вида (1) заключается в том, что должны быть известны значения независимой переменной , искомой функции и всех производных до (n-1) порядка включительно. Смысл решения задачи Коши для данного уравнения состоит в том, чтобы определить, исходя из начальных условий, значения произвольных постоянных, причём если ДУ первого порядка, то решается одно уравнение, второго – система 2-х уравнений, n-ого порядка n уравнений.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши .

Если функция определена и непрерывна в области и дифференцируема по , то в окрестности т.  существует единственное решение , удовлетворяющее начальным условиям при этом .

Задача Коши для системы (3):

Найти решение системы (3) удовлетворяющее начальным условиям при , где и - заданные действительные числа.

Теорема (существования и единственности решения)

Пусть дана система ДУ вида , где непрерывны по всем своим аргументам и непрерывно дифференцируемы по зависимым переменным в области . Выбраны начальные условия тогда система (5) имеет единственное векторное решение, которое удовлетворяет начальным условиям на интервале