11. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов трѐхмерного евклидова пространства. Приложения к решению задач.
Опр.Век-р–направл-ый отрезок.
Опр.
Скалярным
произведением векторов
и
наз. число обознач.
и удовлетвор. след.усл.:
;
2)
;3)
;4)
.
Скаляр.произвед-ем
2-х в-ров наз число,равное произвед-ю
длин в-ров на
угла м/д ними
,где
.
Опр.Если в векторном пространстве введено сколярн.произв. по аксиомам 1-4, то такое векторное пространство наз. евклидовым.
Опр. 2 вектора и наз. ортогональными, если их сколяр.произв. =0.
Опр. Базисом векторного пр-ва наз. упорядоченное совокупность в-в этого пр-ва удовл.усл.: 1) сист.в-в ЛНЗ;
2) каждый в-р вектор-го пр-ва выраж. в виде лин. комбинации в-в этой сист.
Опр.
Базис
наз. ортонормированным, если
в-ра ортогональны и длина каждого в-ра
=1,т.е.
.
Сколяр.произв.
заданное своими координатами:
.
Опр.
Векторным
произв-м упорядоченной пары неколленеарн.
в-в
и
наз в-р
опр. след. усл.:
;
2)
и
;
3)
–
правая(направл.
)
Опр.
Упорядоч.тройка в-в
наз.правой, если глядя с конца 3-го в-ра
поворот от 1-го в-ра ко 2-му движение идет
против часовой стрелки.
Опр.Векторн.произв. колленеарн.в-в наз нулевой в-р.
Св-во
векторн.произв.:
Векторн.произв. в ортонорм. базисе:
.
В
ортонорм. правом базисе векторн. произв.:
,
.
На
пл-сти
:
.
Опр.
Смешенным произв. 3-х в-в
заданным в указ. порядке, наз.число
.
Св-во:
.
Опр.
построенного на этих в-рах как на рёбрах.
Опр.
3 в-ра
компланарны
когда их смешан.произв. раавно 0.
12. Плоскость и прямая в прастранстве.
1.Ур-ние
пл-ти,заданное т-кой
и направл-щим подпр-вом
для некотор. пл-ти
с базисом образованным в-ми
,
:
.
Точка
будет
указ. пл-ти
когда
в-ры
компланарны (смешан.произв.
раавно 0).
2.Ур-ние
пл-ти, задан. 3-я т-ми не лежащих на одной
пл-ти и их сколяр.произв. =0
3.Ур-ние
пл-ти, заданной т-кой
,
и перпендикул.в-ром
.
Если выбрана с-ма координат,то ур-ние
(при
)-общее
ур-ние пл-ти.
Располож.пл-ти
в афинной с/к: 1)
пл-ть
проходит ч/з систему координат; 2)
пл-ть
оси
,
если
содержит
;
3)
пл-ть
оси
,
если
содержит
;
4)
пл-ть
оси
,
если
сдержит с
.
Уравнения
прямой в пространстве: 1.Канонич.ур-ие
прямой,зад.2-мя т-ками:
2.Каноническое
ур-ние прямой,
,
зад-ое т-кой
и
направляющим век-ом
.3.Параметрическое
ур-ние прямой, зад-ое т-кой
и
направляющим век-ом
и вып-ся рав-во
,
кот. в коорд.форме имеет вид
.
Взаимное
расположение двух плоскостей: Пусть
плоскости заданы своими общими ур-ями:
и
.
Вопрос о взаимном расположении этих
пл-стей сводится к реш-ю 2-х лин ур-ий с
3-мя неизв. Если коэф-ты при перем-х
непропорциональны,
то пл-сти
пересекаются
по прямой. Если
,
то данные пл-сти
параллельны.
Если
,
то пл-сти совпадают.
Взаимное
расположение прямой и плоскости.
Пусть в пр-ве прямая d
задана точкой
и
направляющим и в-ром
,
пл-сть
.
,
т.е. имеют общую точку, вып-ся
.
Для отыскания корд-т точек пересечения
прямой и пл-сти решается система, сост
из ур-ий прямой и пл-сти
.
2.
вып-ся
усл-е
и
3.
d
содержится в пл-сти
вып-ся усл-е
.
Располож-е
2-х прямых в пр-ве.
Пусть
в пр-ве даны прямые
и
заданное
точкой и направл. вектором.
1.Прямые
и
наз. скрещивающимися,если
они не лежат в одной пл-ти и
.
2.
Прямые
и
совпадают,
если они лежат в одной пл-ти и
.3.
Прямые
и
параллельны
вып-ся
и
но не
.4.
Прямые
и
совпадают
вып-ся
и
.