63. Нелокальные итерационные методы неполного прогноза, локально сходящиеся с кубической скоростью, для решения нелинейных уравнений с непрерывным оператором.

Пусть дана система произвольно расположенных упорядоченных несовпадающих узлов на промежутке .

Через значения функции сначала определяют разделенные разности первого порядка: ; ;… .

На этих разностях базируются разделенные разности второго порядка:

, …

и т.д. Таким образом, если определены k-е разностные отношения , то (k+1)-е определяются через них равенством

Для операторов разделенные разности определяются аналогично (только вместо операции отношения будет использована операция умножения на обратный оператор).

Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих узлов будет иметь вид:

О локальных итерационных процессах третьего порядка

Итерационные методы, локально сходящиеся с кубической скоростью обладают тем достоинством, что «разболтка» процесса наступает часто на один-два порядка позже, чем в методах второго порядка (как правило, методы второго порядка позволяют получить приближенное решение с точностью до по норме невязки, методы третьего порядка позволяют получить приближенное решение с точностью по норме невязки).

Теорема. Пусть в области , существует -решение уравнения f(x)=0 и выполняются следующие условия:

1)

2)

3) .

Тогда итерационный процесс (2), (3) со сверхлинейной скоростью (локально с квадратичной) сходится к . Оценки погрешности n-го приближения имеет вид ; .

Шаг 1. Решается линейное уравнение относительно поправки , где .

Шаг 2. Вносится поправка в вектор для определения вектора

Шаг 3. Решается лин. Ур-ие относительно поправки .

Шаг 4. Вносится поправка в вектор для определения приближения:

Шаг 5. Проверяется окончание итерационного процесса: если и (или) – конец просчетов, иначе – переход на шаг 6.

Шаг 6. Если , то , иначе пересчет шаговой длины по формуле

Доказательство: .

Оценим :

Оценим :

где

Возвращаемся к оценке :

. Тогда (*)

Пусть , тогда , тогда , в этом случае в силу (*) .

Отсюда следует, что . Тогда Таким образом, последовательность итерационных параметров монотонно возрастает, а последовательность элементов - монотонно убывает с ростом n. Индуктивные рассуждения позволяют получить оценку , из которой следует слабая сходимость элементов , генерируемых алгоритмом, к .

Оценка погрешности n-го приближения получается переходом к пределу в последнем при . Имеем .

Радиус сферы определяем индуктивно

Переход к пределу в последнем неравенстве при n позволяет утверждать, что все последовательные приближения не выходят за пределы сферы .

Покажем, что достигнет 1:

Теорема доказана.

Замечание. Локальная квадратичная скорость сходимости процесса следует из (*) при _n=1