61. О методах неполного прогноза, локально сходящихся с кубической скоростью, для решения нелинейных уравнений с гладкими операторами.

Определение. Пусть x^* - точное решение, последовательность {x_k}→ x^* , тогда говорят, что метод Ньютона сх-ся со скоростью , если , 0<q<1. Если =1, то скорость линейная, =2 – квадратичная, =3 – кубическая.

В методах неполного прогноза при вычислении используется норма (стоит только , и тп), а в методах полного прогноза используется .

Достоинства: «разболтка» процесса наступает часто на один-два порядка позже, чем в методах второго порядка (как правило, методы второго порядка позволяют получить приближенное решение с точностью до по норме невязки, а методы третьего порядка - )

Недостатки: 1) узкая область сходимости( меньше, чем область сходимости в методах с квадратичной скоростью); 2) сложнее программируется, занимает больше оперативной памяти под дополнительные вектора, по сравнению с квадратичным методом.

Определение: Будем говорить, что функция f:XY дифференцируема по Фреше в точке x₀X, если существует линейный ограниченный оператор Df(x₀)L(V,Y), для которого выполняется условие

||f(x₀+h) ‑ f(x₀)- Df(x₀)h||_Y=o(||h||_V),

где || || _Y – норма в пространстве Y, || || _V – норма в векторном пространстве V, параллельном аффинному пространству X.

Дано уравнение (1)

Для решения уравнения (1) рассматривается итерационный процесс в предположении, что оператор f в интересующей нас области D удовлетворяет следующим условиям:

Для решения (1) может использоваться следующий процесс:

Шаг1. Решается линейное уравнение:

(3)

Шаг2. Решается 2-е линейное уравнение:

(4)

Шаг3. Вносится поправка в :

(5)

Шаг4. Если где - малая величина (параметр останова), то конец просчётов, иначе переход на шаг 4.

Шаг5. Определяется новая шаговая длинна: если то иначе

(**)

Теорема. Пусть в области существует -решение уравнения (1) и выполняются следующие условия:

а)

б)

в)

г) таковы, что (*)

Тогда итерационный процесс (3)-(5) со сверхлинейной скоростью сходится к . Оценки погрешности n-го приближения имеет вид

.

Доказательство.В силу того, что , справедлива оценка

(6)

С учетом (4), соотношение (6) можно переписать в виде

. (7)

Из (7) имеем оценку (8)

Оценим и . Используя теорему о среднем, имеем

, (9)

откуда в силу (3), (9) справедлива оценка для :

; (10)

Здесь . Далее, из (3), (10) имеем:

(11)

Подстановка (10), (11) в соотношение (8) позволяет выразить связь между нормами невязок на соседних шагах (12)

При справедлива цепочка равенств:

(13)

Если положить и , неравенство (12) можно переписать в более компактном виде (14)

При из (14), (*) следует, что

(15)

Из (**) и (15) следует, что .

При имеем, что

Индуктивные рассуждения позволяют утверждать, что последовательность монотонно убывает к нулю, последовательность монотонно возрастает к единице и справедлива оценка (16) из которой следует, что последовательность элементов по функционалу стремится к нулю.

Нетрудно проверить, что все ;

Можно показать и сильную сходимость к

(17)

Из (17) следует фундаментальность последовательности элементов , а в силу полноты пространства существование предельного элемента , который как просто проверить, является решением уравнения (1).Теорема доказана.