59. Сходимость метода итераций явного типа некорректных задач в энергетической норме.

В действительном гильбертовом пространстве решается уравнение I рода

где – ограниченный положительный самосопряженный оператор, для которого нуль не является собственным значением. Однако нуль принадлежит спектру оператора и, следовательно, задача некорректна. Предположим, что при точной правой части , существует единственное решение уравнения (1). Для отыскания решения уравнения (1) применим итерационный метод

В случае, когда правая часть уравнения (1) известна приближенно, , метод (2) примет вид

Запишем общую оценку погрешности для метода (3) при выполнении условия (5)

Теорема 1. Итерационный процесс (3) при условии (5) сходится в энергетической норме пространства , если выбирать число итераций из условия . Для процесса (3) справедлива оценка погрешности (8).

Оптимизируем полученную оценку (8) по , т.е. при заданном найдем такое значение числа итераций , при котором оценка погрешности становится минимальной. Приравняв к нулю производную по от правой части неравенства (8), получим

Подставим в оценку (17), получим ее оптимальное значение

Из (10) вытекает, что оптимальная оценка погрешности не зависит от параметра . Но зависит от , поэтому для уменьшения и, значит, объема вычислительной работы следует брать возможно большим, удовлетворяющим условию (5), и так, чтобы было целым.

60. Метод регуляризации решения некорректных задач. Сходимость метода. Оценка погрешности.

Пусть требуется решить уравнение

где по заданному не обязательно линейному оператору и элементу требуется найти решение .

Предполагается дополнительно, что – непрерывен, взаимнооднозначен и, возможно, нелинеен. Предполагается, что точное решение существует, и подберем регуляризующий (стабилизирующий) функционал обладающий следующими свойствами:

1. точное решение принадлежит области определения функционала ;

2. на области определения функционал принимает вещественные неотрицательные решения ;

3. все множества , является компактными в пространстве .

Определение. Множество называется компактным, если любая бесконечная последовательность его элементов имеет предельные точки. Если множество , кроме того, замкнуто, то его называют компактом (т.е. компакту принадлежат все предельные точки последовательности).

Идея метода регуляризации состоит в том, чтобы разыскать минимизирующий элемент некоторого функционала, но не функционала – такая задача была бы эквивалентной уравнению (1) и поэтому тоже некорректной, а несколько «исправленного» и обладающего стабилизирующими свойствами функционала

c регуляризующим параметром . Минимизацию будем вести на множестве .

Теорема 1. Пусть пространства и – банаховы, оператор – аддитивен, непрерывен и взаимно однозначен, функционал – строго выпуклый и удовлетворяет требованиям 1) – 3) и пусть для существует точное решение уравнения (1) . Если вместо точной правой части уравнения известны приближения такие, что , и значение параметра выбирается так, чтобы

то элементы , минимизирующие функционал на , сходятся к точному решению в пространстве при .

Теорема 3. Пусть – гильбертовы пространства, и выполнены остальные условия теоремы 7.2. Тогда, если точное решение , то справедливо следующее неравенство

Оптимальная оценка получается при выборе .

Как видно из теоремы, априорное значение истокообразности точного решения с оценкой весьма важно для получения оценки погрешности метода регуляризации и для разумного выбора значения регуляризующего параметра .