58. Метод обобщенного суммирования рядов для решения некорректных задач.

Рассмотрим метод на примере уравнения Фредгольма первого рода

в пространстве с полным симметричным квадратично суммируемым ядром, хотя метод пригоден для гораздо более широкого класса задач.

Обозначим через - собственные числа уравнения (1), расположенные в порядке убывания модуля, а через - соответствующую полную ортонормированную систему собственных функций уравнения. Из математического анализа известно, что если правая часть уравнения имеет разложение

то решение задается формулой

Но вместо точной функции обычно известно приближение или, что то же самое, вместо точных коэффициентов Фурье известны приближенные . Требуется по этим приближенным коэффициентам Фурье построить аппроксимацию для точного решения. Суммирование бесконечного ряда Фурье для этой цели непригодно, поскольку .

Возникает мысль: не пытаться доводить суммирование этого ряда до конца, а воспользоваться для построения аппроксимации некоторым конечным отрезком того же ряда

Покажем, что это действительно можно делать, разумно согласовывая число членов ряда с погрешностью . Обозначим

и запишем очевидное неравенство

Первый член справа бесконечно мал при , так как ряд (3) сходится в . Оценим второе слагаемое, воспользовавшись ортонормированностью функций и упорядоченностью собственных чисел по модулю:

Итак, , и, следовательно, если , выбирать так, чтобы , то при для .

Нередко собственные значения или их порядок известны, и тогда можно указать порядок для числа суммируемых членов . Например, если , то для предлагаемый метод суммирования аппроксимирует искомое решение. Таким образом, построенный нами регуляризатор дает возможность приближенно решить поставленную задачу.

Более точное заключение и, в частности, оценку скорости сходимости или оценку погрешности метода, вообще говоря, получить нельзя, так как скорость сходимости к нулю первого слагаемого справа в неравенстве (4) может быть сколь угодно малой. Чтобы ограничить эту скорость снизу, нужны дополнительные условия. Самое простое – предложить истокопредставимость точного решения:

Из этого предположения с очевидностью следует, что в сходится ряд

и что

Нетрудно проверить, что условие (5) выделяет компактный класс решений, но мы не будем пользоваться этим непосредственно, хотя из одного этого факта уже вытекает равномерный для названного класса характер сходимости к нулю нормы .

С помощью условия (6) оценим эту норму

Вместе с предыдущим получаем оценку погрешности

Оптимальная оценка метода имеет вид . Ее порядок равен . Она получается, если выбирать так, чтобы

Если вместо однократной истокопредставимости (5) имеет место кратная истокопредставимость, то справедлива оценка погрешности , для которой оптимальный порядок достигается при таких , для которых .

Изложенный здесь метод суммирования можно представить как обобщенное суммирование ряда (3), т.е. как суммирование ряда

с множителями равными 1 для и равными 0 для . Можно, разумеется, подобрать и другие суммирующие множители. Вообще для решения некорректных задач, в которых решение представимо некоторым рядом, пригодны и иные методы обобщенного суммирования рядов, например методы Чезаро, Абеля и т.д.