56. Понятие корректно поставленной и некорректно поставленной задачи. Примеры. Метод простой итерации явного типа решения некорректно поставленных задач с априорным выбором числа итераций.

Пусть дана задача представленная в виде операторного уравнения I рода

с заданными оператором и элементом , по которым нужно отыскать решение . Адамаром было введено следующее понятие корректности:

Определение. Задачу отыскания решения уравнения (1) называют корректной (или корректно поставленной, или корректной по Адамару), если при любой фиксированной правой части уравнения его решение

а) существует в пространстве Х;

б) определено в пространстве Х однозначно;

в) устойчиво в пространстве Х, т. е. непрерывно зависит от правой части . В случае нарушения любого из этих условий задачу называют некорректной (некорректно поставленной); более конкретно, при нарушении условия в) её принято называть неустойчивой.

Определение. Задача (1) называется корректной по Тихонову на множестве , а само множество М – её классом корректности, если:

а) точное решение задачи существует в классе М;

б) в классе М решение задачи единственно при любой правой части

в) принадлежащее множеству М решение задачи устойчиво относительно правых частей

Если , то корректность по Тихонову совпадает с корректностью по Адамару.

Пример 2.1. Интегральное уравнение Фредгольма I рода

Решается операторное уравнение первого рода

с действующим в гильбертовом пространстве ограниченным положительно определенным самосопряженным оператором , в предположении, что нуль принадлежит спектру этого оператора, однако, вообще говоря, не является его собственным значением. При сделанных предположениях задача о разрешимости уравнения (3.1) является некорректной. Если решение уравнения (3.1) все же существует и единственно, то для его отыскания естественно пытаться применить различные итерационные методы. Будем использовать явный итеративный метод

Обычно правая часть уравнения известна с некоторой точностью , т.е. известен , для которого . Поэтому вместо (3.2) приходится рассматривать приближения

Ниже, как обычно, по сходимостью метода (3.3) понимается утверждение о том, что приближения (3.3) сколь угодно близко подходят к точному решению уравнения (3.1) при подходящем выборе и достаточно малых . Иными словами, метод (3.3) является сходящимся, если

Докажем сходимость метода (3.3). Получим оценки погрешности метода при точной правой части, при приближенной правой части уравнения (3.1) и погрешность в счете. Справедлива

Теорема 3.1. Итеративный процесс (3.2) при условии сходится.

Доказательство. По индукции нетрудно показать, что

Так как уравнение (3.1) имеет по предположению единственное точное решение, то и, значит,

Воспользовавшись интегральным представлением самосопряженного оператора ( – соответствующая спектральная функция, ), получим

Разобьем полученный интеграл на два интеграла

При условии (3.4) величина , тогда

(Здесь ).

так как сильно стремится к нулю при в силу свойств спектральной функции. Следовательно, т.е. итеративный процесс (3.2) сходится. Теорема 3.1 доказана.

Теорема 3.2. При условии (3.4) итеративный процесс (3.3) сходится, если выбирать число итераций в зависимости от так, чтобы .

Теорема 3.3. Если точное решение уравнения (3.1) истокопредставимо, то при условии для метода (3.3) справедлива оценка погрешности

Оптимизируем по полученную оценку погрешности. Для этого найдем значение числа итераций , при котором оценка становится минимальной.

Подставив полученное выражение для в оценку погрешности, найдем ее оптимальное значение