52. Математическое моделирование и современные системы компьютерной математики (на примере системы Mathematica).

Математи́ческая моде́ль — это математическое представление реальности.

Математическое моделирование — это процесс построения и изучения математических моделей.

Основные этапы моделирования:

I этап — постановка задачи включает в себя стадии: описание задачи, определение цели моделирования, анализ объекта. II этап – проектирование структуры и состав модели

III этап — Построение спецификаций модели. Разработка и отладка отдельных подмодулей

IV этап — исследование модели – выбор метода исследования и разработка алгоритма прогр.

V этап — анализ результатов является ключевым для процесса моделирования. Именно по итогам этого этапа принимается решение: продолжать исследование или закончить.

VI этап – Эксперементальное исследование

VII этап – анализ результатов моделирование и документирование.

Вычислительный эксперимент — метод изучения устройств или физических процессов с помощью математического моделирования. Преимущества: проведение ВЭ когда натурный эксперимент невозможен, низкая стоимость,

Триада „модель-алгоритм-программа универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в пробных вычислительных экспериментах. После того, как адекватность (достаточное соответствие) триады исходному объекту установлена, с моделью проводятся разнообразные и подробные „опыты“, дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта».

WebMathematica предоставляет доступ через web-браузер или других web-клиентов к специальным приложениям программы Mathematica.

Для объединения данных могут использоваться списки (list). На языке данной системы список — это совокупность произвольных данных, указанных в фигурных скобках, например: {1, 4, 2, 7, 9}. List [a, b, с,...] — создает список {а, b,, с,...}; Count [list, pattern] — возвращает количество элементов в списке list, которые соответствуют образцу pattern; Length[list], Last[list];

Функции линейной алгебры: MatrixForm[a + b] — выводит список в форме массива (матрицы) производит операции над матрицами; Minors[m][i,j] - вычисляет определитель минора матрицы, получающегося вычеркиванием строки и столбца; Det[a] – определитель; LinearSolve[a, b] - решает матричные уравнения

Функции пользователя. Например, функция для возведения х в степень n можно определить так: powerxn[x_, n_] := х^n Вызовы функции: powerxn[2, 3].

Задача двух тел состоит в том, чтобы определить движение двух точечных частиц, которые взаимодействуют только друг с другом. Распространённые примеры включают спутник, обращающийся вокруг планеты.

53.Нелок одношаг процессы неполного прогноза для реш-я нелин ур-й с гладкими операторами.

Будем говорить, что ф-ия f:XàY дифф-ма по Фреше в т-ке x₀ÎX, если существует лин-ый огр.оператор Df(x₀)Î L(V,Y), для кот. вып. усл-ие ||f(x₀+h) ‑ f(x₀)- Df(x₀)h||_Y=o(||h||_V), где || || _Y – норма в пр-ве Y, || || _V – норма в векторном пр-ве V, параллельном пр-ву X. В одношаговых методах исп. нормы ( в 2-х приближениях), а в многошаговых в 3-х: . В м-ах неполного прогноза при выч. исп. норма , а в методах полного прогноза исп. .Дано ур-е X- банахово пр-во. Для реш-я ур-я (1) рассм. итерац. процесс в предположении, что оператор f в интересующей нас обл. D уд. след.усл-ям:

. Процесс: Шаг1. Реш. линейное ур-е относительно : (3). Шаг2. Вносится поправка в :

(4) Шаг3. Если где - малая величина (параметр останова), то конец просчётов, иначе переход на шаг 4. Шаг4. Опред.новая шаговая длинна: если то иначе Теорема. Пусть в обл. , сущ. -реш-е ур-я f(x)=0 и вып. след. усл-я: а) б) в) г) Тогда итерац. процесс (3), (4) со сверхлин. скоростью (лок. с квадратичной) сх-ся к . Оценки погреш-ти n-го приближения им. вид Док-во: 1) релаксац-ть , т.е . Исп т-му о среднем: Тогда 2) проверка хар-го св-ва. Нах. (5) (Лок. квадр скорость сх-ти следует при b_n=1). 3) Покажем , . Пусть , тогда , тогда , в этом случае в силу (5) . Отсюда следует, что . Тогда , т.е. получили что требовалось. 4) Сход к реш. , из кот.следует слабая сходимость элементов -> . 5) Оценка погрешности . 6) радиус сходимости Опред.: Индуктивно получ. оценки Переход к пределу при n позволяет утверждать, что все послед-ные приближения не выходят за пределы сферы . 7) достигнет 1: