3. Производная и дифференциал. Основные теоремы дифференциального исчисления. Условия монотонности, выпуклости и локального экстремума функции.

Опр. Пусть ф-я определена в некоторой окрестности т. и непрерывна в т. и существует предел , тогда этот предел и называют производной в т. и записывают .

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику ф-ии в c положительным направлением оси .

Механический смысл производной: скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени.

Опр. Функцию назовем дифференцируемой, если она является дифференцируемой в каждой точке своей области определения.

Теорема. Пусть функции и дифференцируемы в точке . Тогда дифференцируемы их сумма, разность, произведение и (при ) частное, причем справедливы формулы:

1. ;

2. ;

3. .

Теорема. Если , дифференцируемы соотв. в точках и , то и сложная функция также дифференцируема в точке , причём .

Теорема. Пусть ф-я непрерывна и строго возрастает (убывает) на , , то обратная ф-я дифференцируема в т. , причём .

Теорема (Ферма). Если дифференцируема во внутренней точке и в ней принимает наибольшее или наименьшее значение (точка локального экстремума), то производная в этой точке равна нулю.

Теорема (Ролля). Если ф-я непрерывна на и дифференцируема на и на концах отрезка принимает равные значения ( ), то существует т. , принадлежащая интервалу, что .

Теорема (Лагранжа). Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Тогда найдется точка , такая что .

Теорема (Коши). Если и непрерывны на и дифференцируемы на , , то существует т. , принадлеж. , что .

Правило Лопиталя: 1) , – дифференцируемы на , , , , то .

2) , – дифференцируемы при , , , , то .

Теорема (формула Тейлора). Если ф-я дифференцируема в т. до порядка включительно, то , – многочлен Тейлора, – остаточный член. – остаточный член в форме Пеано.

Теорема. (критерий возрастания и убывания ф-й). Для того, чтобы дифференцируемая ф-я на интервале была возрастающей, необходимо и достаточно, чтобы для .

Теорема. Если , то – монотонно возрастает на .

1 достаточный признак экстремума. Если диффер. в некоторой окрестности т. и непрерывна в ней, то а) производная при переходе через меняет знак с на , то – точка строго минимума; б) меняет знак с на , то – точка строго максимума; в) если производная не меняет знак, то не является точкой экстремума.

2 достаточный признак экстремума. Если т. – стационарная точка для , т.е. производная в ней равна нулю и существует вторая производная, то а) вторая производная , – точка минимума; б) если , то точка максимума.

3 достаточный признак экстремума. Если имеет производных, причём до порядка в точке они равны нулю, а -производная не равна нулю, то а) если , производная порядка в точке , то точка строго минимума, если производная , то – точка строго максимума; б) если , то не является точкой экстремума.

Теорема (достаточное условие выпуклости ф-й). Если ф-я дифференцируема на отрезке и имеет на нём вторую производную, то: а) вторая производная , то ф-я выпукла вниз; б) если вторая производная , то ф-я выпукла вверх.

Опр. Если график функции при переходе через меняет свое направление выпуклости, то точка наз точкой перегиба графика функции.