44. Метод обратной функции моделирования реализаций непрерывной случайной величины.

Модель – объект (физический или абстрактный) максимально приближенный к исследуемом объекту, системе, явлению и т. д. с точки зрения решаемой задачи.

Моделирование – процесс создания, отладки и использования модели. Все модели СВ получаются на основе двух принципов:

1) Использование БСВ (Существуют программы для реализации), 2)наличие функционального преобразования которое из БСВ получает СВ с заданным распределением.

Моделирование на ЭВМ случайного элемента подчиняется двум основным принципам:

1. сходство между случайным элементом-оригиналом и его моделью S состоит в совпадении (близости) вероятностных законов распределения или числовых характеристик;

2. всякий случайный элемент определяется как некоторая борелевская функция от простейших случайных элементов, так называемых базовых случайных величин (БСВ).

В качестве БСВ выбирается непрерывная СВ равномерно распределенная на полуинтервале [0;1).

Функция распределения БСВ (*), а плотность распределения определяется формулой .

Метод обратной функции

При построении ИМ часто возникает необходимость моделирования непрерывной СВ с заданной плотностью распределения . Функция распределения случайной величины определяется как: (1), которую будем полагать строго монотонно возрастающей функцией. Через обозначим функцию обратную , она находится при решении уравнения (2).

Теорема. Если – БСВ, то СВ (3), имеет заданную плотность распределения .

Моделирующий алгоритм включает следующие этапы:

1. нахождение функции распределения по заданной плотности распределения согласно (1)

2. нахождение обратной функции путем решения уравнения (2)

3. модерование реализации БСВ и вычисление реализации по формуле (3)

Недостаток: аналитические трудности на первых двух этапах. В чистом виде метод обратной функции применяется редко т. к. для многих распределений даже (не говоря уже о ) не выражается через элементарные функции, а табулирование существенно усложняет моделирование. На практике этот метод дополняют аппроксимацией или сочетанием с другими методами.

Метод обратной функции применим и для моделирования случайного -вектора с заданной плотностью распределения .

По свойству согласованности многомерной плотности распределения .

Для СВ ( ) вычислим

а) условные плотности распределения при условии, что – фиксированные:

б) соответствующие условные функции распределения:

которые будем полагать монотонно возрастающими по .

в) обратные функции , в том числе безусловную обратную функцию для компоненты , .

Тогда если – независимые в совокупности БСВ, то случайный вектор с компонентами

,

,

…..

,

имеет плотность распределения . Доказательство аналогичное для одномерного случая начиная с . Если независимы в совокупности, то моделирование каждой компоненты может быть осуществлено независимо от других. Компоненты можно занумеровать способами. Т.е. существует представлений условных плотностей. Простота реализации алгоритма часто зависит от того, насколько удобно выбрано такое представление.