2. Предел и непрерывность функции в точке. Основные свойства предела функции. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций.

Пусть – некоторое подмножество множества действительных чисел и – предельная точка множества . Пусть – вещественнозначная функция, определенная на .

: Опр. (предел функции в точке по Коши): .

Опр. (предел функции в точке по Гейне): , .

Опр. Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена сама эта точка.

Теорема. Определения о пределе функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

Свойства предела функции:

Общие свойства.

Опр. Функцию , принимающую только одно значение, будем, как и прежде, называть постоянной. Функция называется финально постоянной при , если она постоянна в некоторой проколотой окрестности точки , предельной для множества .

Опр. Функция называется ограниченной, ограниченной сверху, ограниченной снизу, если найдется число такое, что для любого выполнено соответственно , , .

В случае, если первое, второе или третье из этих соотношений выполнено лишь в некоторой проколотой окрестности точки , функция называется соответственно финально ограниченной при , финально ограниченной сверху при , финально ограниченной снизу при .

Предельный переход и арифметические операции.

Опр. Если две числовые функции , имеют общую область определения , то их суммой, произведением и частным называются соответственно функции, определенные на том же множестве следующими формулами: , , , если при .

Теорема. Пусть и – две функции с общей областью определения. Если , , то: a) ; b) ; c) , если и при .

Предельный переход и неравенства.

Теорема. а) Если функции и таковы, что , и , то найдется проколотая окрестность точки в множестве , в любой точке которой выполнено неравенство . b) Если между функциями , и на множестве имеет место соотношение и если li , то существует также предел при , причем .

Следствие. Пусть и . Если в некоторой проколотой окрестности точки : a) выполнено , то ; b) выполнено ; то ; c) выполнено , то ; d) выполнено , тo .

Теорема (предел композиции функций): ( ). Если , , -окрестность т. и -окрестность т. , то .

Критерий Коши существования предела функции:

, .

Замечательные пределы: 1) , 2) .

Опр. Ф-ция , определённая в некоторой окрестности т. , наз. непрерывной в т. , если .

Опр. (непрерывность по Коши): .

Опр. (непрерывность по Гейне): Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности , такой что при , выполняется условие при .

Опр. Функцию назовем непрерывной, если она непрерывна в каждой точке своей области определения.

Опр. – точка разрыва, если: 1) ; 2) ; 3) .

Опр. Если функция не является непрерывной в точке из своей области определения, то точка a называется точкой разрыва функции .

Опр. наз. точкой разрыва 1 рода, если , но (Если существуют односторонние пределы функции – слева и – справа и они не равны друг другу).

Опр. наз. точкой разрыва 2 рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен или предела не существует.

Локальные свойства (поведение функции в некоторой сколь угодно малой окрестности):

1. если непрерывна в , то она ограниченна в некоторой окрестности т. ;

2. если непрерывна в то некоторая окрестность т. , в которой знак ф-ции совпадает со знаком .

3. Арифметические операции , , над непрерывными ф-ями , , также являются непрерывными функциями.

4. Если ф-я – непрерывна в , а – непрерывна в , , то будет непрерывна в .

Глобальные свойства:

Теорема: (Больцано-Коши о промежуточном значении) Если функция, непрерывная на отрезке, принимает на его концах значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она обращается в ноль.

Теорема: (Вейерштрасса об ограниченности ф-ции): Если ф-я непрерывна на отрезке , то она ограниченна на нём.

Опр. на наз. равномерно непрерывной на , если .

Опр. не является равномерно непрерывной на , если , но .

Опр. –непрерывна в , если .

Из равномерной непрерывности следует обычная непрерывность в точке.

Теорема Кантора: Если непрерывна на , то она равномерно непрерывна на нём.