21 Гильбертово пр-во.

Опр.Пусть X-векторное пр-во над полем K(R,C).Отображение<*,*>:X X→K наз.скаляр.произведением на Х,если:1.хХ <x,x> ≥0, <x,x>=0<=> x=0; 2.х,yХ <x,y>=<y,x>3.х,yХ,λR <λx,y>=λ<x,y>(однород.по 1-му арг-ту)4.х,y,zХ <x+y,z>=<x,z>+<y,z>(аддитив.по 1-му арг-ту). Утв1.Если<*,*>-скаляр.произв-е,то норма на Х

Опр.Сис-ма вект-ов наз.ортонормир-ой, если <l_k;l_m>=δ_km={1,k=m;0,k≠m. Полное лин.нормированное пр-во наз.банаховым. Опр.Банахово пр-во Х с нормой||*||наз. гильбертовым пр-вом,если в нем дляf,gХ опр.скаляр.произвед.(f,g),уд.усл-ям: (f,g)=(g,f),(αf₁+βf₂,g)=α(f₁,g)+β(f₂,g)(аддитивность).

Т.Пусть X–гильберт.пр-во(X,<,>), -ортонормир.сис-ма вект-ов в X, c_k=<x,l_k>,тогда:

1.справедл.нер-во Бесселя:∑_k=1^∞│c_k│²≤║x║²,

2.ряды Фурье сх-ся к т-ке x X _выполн.рав-во Парсеваля–Стеклова: ∑_k=1^∞│c_k│²=║x║²,где c_k-коэф.Фурье,ряд ∑_k=1^∞c_kl_k Фурье.

Опр.Сис-ма вект-ов l_k наз.макс-ой в гильберт пр-ве X,если из усл.,что k N, <x,l_k>=0 x=0.

Опр. Сис-ма век-ов l_k наз.полной в гильберт пр-ве X,если мн-во всех конечных лин-ых комбинаций век-ов этой сис-мы всюду плотно в гильберт пр-ве.

Т.Пусть X гильберт.пр-во, -ортонормир.сис-ма, тогда эквивалентны утверждения:1)данная сис-ма явл.базисом в X; 2)сис-ма максимальна;3)справедлив.рав-во Парсеваля-Стеклова;4)сис-ма явл.полной.

Т.(Рисса) Пусть Н – гильб. Пр-во тогда, для f _{Н* (H*H - изометрично) сущ. и единствен. y H такой, что} х _{Х f(x)=<x,y> и ||f||=||y||}

22. Интерполирование. Интерполяционные многочлены.

Пусть функция задана таблицей

		…
		…

Такая таблица может получиться в результате наблюдений захода некоторого процесса. Если необходимо найти значение функции для промежуточного значения аргумента, то строят функцию достаточно простую для вычислений, которая в точках принимает значения , а в остальных точках отрезка принадлежащего области определения функции приближенно представляют функцию с той или иной степенью точности и заменяют функцию в вычислениях.

Чаще всего интерполяционную функцию строят в виде алгебраического многочлена некоторой степени. К интерполированию прибегают и тогда, когда известна аналитическая функция. Но вычисления каждого значения этой функции сопряжено с большим объемом вычислений.

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Многочлен совпадает с функцией в точках , т.е. . А в остальных точках отрезка

– ошибка интерполяции, т.е. ошибка, которая получается, когда заменяется на . По-другому называется остаточным членом интерполяции.

Теорема. Если функция на имеет непрерывные производные до порядка, то будет равно где зависит от .

Интерполяционные многочлены Ньютона

Интерполяционный многочлен Лагранжа, который может быть построен при любом расположении узлов интерполяции, имеет всего лишь один существенный недостаток: если понадобится увеличить число знаков и следовательно степень многочлена при помощи добавления нового узла, то многочлен Лагранжа придется вычислять заново, т.к. каждый его член зависит от узлов. Указанным недостатком не обладает интерполяционный многочлен Ньютона.

Пусть дана функция и – значения этой функции в точке при . Из первой разделенной разности получаем

Из второй разделенной разности получаем следующее

И т.д., получим

В случае равноотстоящих узлов , получим

(4) – формула Ньютона, интерполирование вперед. Называется (4) так потому что (4) содержит значение функции в узлах, которые находятся правее точки . По-другому (4) – формула Ньютона, интерполирование в начале таблицы. (4) применяют тогда, когда нужно найти значение близкой к . Остаточный член для многочлена (4) имеет вид

– погрешность интерполирования.

Обозначим через

В случае равноотстоящих узлов , то получаем интерполяционную формулу Ньютона «интерполирование назад» или интерполирование в конце таблицы, т.е.

Формулу интерполирования назад используют при нахождении значения функции в точках близких к . Остаточный член формулы (5) оценивается т.о.: