1. Предел числовой последовательности и его свойства. Критерии Коши и Вейерштрасса существования предела. Число .

Опр. Функция, заданная на множестве натуральных чисел со значениями в множестве , называется последовательностью элементов множества . Обозначают .

Опр. Число наз. пределом пос-ти , если для (эпсилон-окрестности точки ) найдётся такой номер , начиная с которого все члены пос-ти попадут в окрестность точки . Окрестностью т. наз. любой интервал, содержащий точку .

Опр. Будем говорить, что последовательность сходится к т. , если . Т.е.

При этом называется пределом последовательности и обозначают: или при .

Послед-ть, имеющая предел, наз. сходящейся, в противном случае – расходящейся (если она не сходится ни к одному действительному числу).

Последовательность, принимающую только одно значение, будем называть постоянной.

Опр. Если существуют число и номер такие, что при любом , то последовательность будем называть финально постоянной.

Опр. Последовательность называется ограниченной, если существует число такое, что при любом .

Св-ва: а) Финально постоянная последовательность сходится. б) Последовательность не может иметь двух различных пределов. в) Сходящаяся последовательность ограничена.

Опр. Последовательность чисел назовем бесконечно малой, если она сходится к нулю, и бесконечно большой, если она стремится к бесконечности.

Теорема существования конечного предела: , – бесконечно малая величина.

Операция нахождения предела последовательности называется предельным переходом.

Опр. Если , – две числовые последовательности, то их суммой, произведением и частным (в соответствии с общим определением суммы, произведения и частного функций) называются соответственно последовательности , , .

Арифметические операции:

1. Сумма конечного числа б/м послед-тей – б/м послед-ть (т.е. если и – б/м послед-ти, то и – б/м послед-ть);

2. Произведение б/м послед-ти на ограниченную послед-ть есть б/м послед-ть;

3. и – числовые послед-ти, имеют предел (т.е. ограниченны: , ), то , , .

Предельный переход и неравенства:

Теорема. а) Пусть , – две сходящиеся последовательности, причем , . Если , то найдется номер такой, что при любом выполнено неравенство .

б) Пусть последовательности , , таковы, что при любом имеет место соотношение . Если при этом последовательности , сходятся к одному и тому же пределу, то последовательность также сходится и к этому же пределу.

Следствие. Пусть и . Если существует номер такой, что при любом : а) , то ; б) , то ;в) , то ;г) , то .

Опр. Последовательность называется возрастающей, если ( ); неубывающей, если ( ); невозрастающей, если ( ); убывающей, если ( ). Последовательности этих четырех типов называют монотонными последовательностями.

Опр. Последовательность называется ограниченной сверху, если существует число такое, что ( ). Аналогично определяется последовательность, ограниченная снизу.

Теорема о пределе монотонной послед-ти (Критерий Вейерштрасса): Для того чтобы неубывающая последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху.

Опр. Послед-ть называется фундаментальной, если .

Теорема (критерий Коши существования предела): послед-ть сходится – фундаментальная, т.е. .

Число е. Докажем существование предела последовательности . Рассмотрим последовательность , показав, что она монотонно убывающая и ограничена снизу нулем. Используя неравенство Бернулли: для всех и всех натуральных справедливо: , получим: при .