Точкова оцінка математичного сподівання

Нехай х₁, х₂,..., х_n - вибірка, отримана в результаті n незалежних випробувань над випадковою величиною Х - деякою ознакою генеральної сукупності, яка має математичне сподівання M(Х) = а.

За точкову оцінку математичного сподівання а = M(Х) беруть вибіркове середнє:

Припустимо додатково, що випадкова величина Х має скінченну дисперсію D(Х) = . Тоді можна стверджувати, що оцінка є слушною.

Приймемо без доведення важливе для практики твердження: якщо випадкова величина Х нормально розподілена з параметрами M(Х)= а і D(Х) = , то оцінка має у класі всіх незміщених оцінок математичного сподівання а мінімальну дисперсію, яка дорівнює . Тому є ефективною оцінкою параметра а.

Точкова оцінка дисперсії. Підправлена дисперсія

Якщо випадкова вибірка складається з результатів n незалежних випробувань х₁, х₂,..., х_n над випадковою величиною Х із математичним сподіванням M(Х) = а і дисперсією D(Х) = , то за точкову оцінку дисперсії беруть вибіркову дисперсію , яка є зміщеною оцінкою параметра D(Х) = , або підправлену вибіркову дисперсію .

Враховуючи співвідношення одержимо , тобто дисперсія є незміщеною оцінкою для дисперсії D(Х) = .

Дріб називають поправкою Бесселя. Для малих значень n поправка Бесселя значно відрізняється від одиниці. Для n>50 практично немає різниці між D_B i s². Оцінки D_B i s².є слушними і не є ефективними.

У випадку, коли математичне сподівання а відоме і випадкова величина Х нормально розподілена, то незміщеною, слушною та ефективною оцінкою дисперсії D(Х) = є оцінка .

Теоретичний параметр	Статистична оцінка
	для не згрупованих даних	для згрупованих даних
Математичне сподівання	Вибіркове середнє	Вибіркове середнє - середини частинних проміжків [zі-1,zі)
Дисперсія	Зміщена оцінка Незміщена оцінка (виправлена дисперсія)	Зміщена оцінка Незміщена оцінка (виправлена дисперсія)
Початковий s-ий момент	Вибірковий початковий s-ий момент	Вибірковий початковий s-ий момент

Центральний s-ий момент	Центральний вибірковий s-ий момент	Центральний вибірковий s-ий момент
Коефіцієнт асиметрії	Вибірковий коефіцієнт асиметрії
Ексцес	Вибірковий ексцес
Коефіцієнт варіації	Вибірковий коефіцієнт варіації

Приклад 5. У результаті статистичних досліджень випадкової величини Х отримано таку вибірку: 47, 45, 46, 45, 46, 47, 44, 46, 45, 46, 45, 46, 46, 44, 46, 48, 46, 45, 46, 47, 44, 46, 45, 45, 46, 44, 46, 48, 46, 46, 45, 47, 44, 46, 45, 45, 44, 48, 46, 46, 45, 47, 44, 46, 45, 46, 46, 47, 46, 47. Знайти незміщені оцінки генерального середнього та генеральної дисперсії.

xi	44	45	46	47	48
ni	6	11	23	7	3

Розв’язання. Обсяг вибірки n=50. Побудуємо статистичний розподіл вибірки:

Перейдемо до умовних варіант для полегшення розрахунків , де С=46, b=1.

Незміщеною оцінкою генерального середнього є вибіркове середнє:

Щоб знайти незміщену оцінку генеральної дисперсії – виправлену вибіркову дисперсію, визначимо вибіркову дисперсію й помножимо на коефіцієнт Бесселя:

╚═