5 разів

10 разів

4 Рази

6 разів

Отже Me = х₁₆= 25, тобто зупинку треба організувати на 25-му кілометрі залізниці.

╚═

Модою Мо називається варіанта з найбільшою частотою.

Приклад 4. Задано інтервальний статистичний ряд розподілу. Знайти розмах вибірки, медіану, моду.

(zi;zі-1]	(10;15]	(15;20]	(20;25]	(25;30]	(30;35]	(35;40]	(40;45]
ni	7	4	5	1	12	3	18

Розв’язання. Обсяг вибірки n=50.

Медіанним частинним інтервалом буде п’ятий інтервал,

Модальним частинним інтервалом буде останній, бо він має найбільшу частоту, Розмах вибірки

╚═

Точкові оцінки параметрів розподілу (незміщені, слушні, ефективні)

Відомо, що повною характеристикою випадкової величини - ознаки генеральної сукупності є її закон розподілу. Але щоб конкретизувати цей закон, потрібно знати його параметри розподілу. Зокрема для нормального закону розподілу параметрами є а і σ, для пуассонівського - l, для показникового - а і т. д.

Отже, вивчаючи певну ознаку Х генеральної сукупності, ми можемо знати характер закону розподілу випадкової величини Х, але параметри цього закону залишаються невідомими. Тоді виникає задача: на основі одержаної вибірки з генеральної сукупності визначити наближені числові значення невідомих параметрів розподілу. Такі наближені числові значення параметрів розподілу називають їхніми точковими статистичними оцінками, або скорочено - точковими оцінками.

Нехай ми вивчаємо випадкову величину Х, закон розподілу якої відомий, але містить невідомий параметр θ. Потрібно знайти точкову статистичну оцінку параметра θ за результатами n незалежних випробувань, у кожному з яких випадкова величина Х набуває значень х₁,х₂,. ,х_n (вибірка обсягу n).

Будь-яку однозначну функцію θ^*_n = θ^*_n( х₁, х₂,..., х_n), за допомогою якої знаходять наближене значення параметра θ розподілу випадкової величини, називають точковою оцінкою цього параметра.

Для того, щоб оцінка θ^*_n була в певному сенсі „найкращою" для параметра θ, тобто мала практичну цінність, вона мусить задовольняти певні умови.

Точкова оцінка θ^*_n = θ^*_n(х₁, х₂,..., х_n) параметра розподілу θ випадкової величини Х називається незміщеною, якщо її математичне сподівання дорівнює точному значенню цього параметра.

Але навіть використовуючи незміщену оцінку, дисперсія якої значна, ми не застраховані від великих помилок при знаходженні наближеного значення параметра θ. Якщо ж вимагати, щоб дисперсія D(θ^*_n) була малою, то можливість допустити велику помилку буде виключена.

Незміщена оцінка θ^*_n = θ^*_n(х₁, х₂,..., х_n) називається ефективною, якщо вона має найменшу дисперсію серед усіх незміщених оцінок параметра θ, обчислених за вибірками одного і того ж обсягу.

Точкова оцінка θ^*_n = θ^*_n(х₁, х₂,..., х_n) параметра розподілу θ називається слушною (або конзистентною, або змістовною), якщо θ^*_n збігається за ймовірністю до оцінюваного параметра при необмеженому зростанні обсягу вибірки, тобто виконується така рівність: , де ε > 0 як завгодно мале число.