МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Астраханский государственный университет»

Кенжалиева С.З. Леушина Л.П.

Интегральные уравнения. Вариационное исчисление

Учебно – методическое пособие

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению

«Физика – бакалавр»

Предисловие.

Данная дисциплина включает в себе 2 части: в первой предполагается изучение основных классов интегральных уравнений. Вторая часть посвящена изложению основных положений вариационного исчисления.

Курс « Интегральные уравнения. Вариационное исчисление» является достаточно сложным и включает материал, трудный для усвоения студентами. Цель пособия – помочь студентам освоить необходимый материал.

Пособие является кратким изложением основных тем курса. Отметим , что существенной проблемой является недостаток времени , выделяемое программой. Пособие не претендует на объемлющее изложение соответствующих дисциплин. При написании настоящего пособия мы стремились к тому, чтобы материал по возможности легко воспринимался студентами. При изложении стандартных вопросов теории интегральных уравнений нами использовались уже имеющиеся учебники и пособия других авторов.

Первая часть пособия посвящена разделу «Интегральные уравнения».

Основной целью было ознакомить с основными методами решения наиболее часто встречающихся в приложениях интегральных уравнений – уравнений Фредгольма и Вольтерры (2 рода). Во второй части изложены основные факты вариационного исчисления, в соответствии с программой.

При составлении пособия нами использовались следующие книги по данной тематике.:

1.Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. – М. наука, 2007

2. Мл. Краснов, А.Н. Киселев, Г.И. Макаренко Интегральные уравнения. Задачи и примеры с подробными решениями //Серия «Высшая математика в задачах» М.:УРСС,2007.

Материал распределен по темам. Сначала излагается основной теоритический материал. Ввиду отсутствия у студентов практики решения задач по указанной тематике, в пособии в конце каждой темы предлагается подробное решение задач по соответствующим разделам. Далее рекомендуются задачи для самостоятельной (домашней ) работы. Задачи для самостоятельной работы взяты из второй книги.

При изложении теоретического материала предпочтение отдано классической теории интегральных уравнений. Современном изложении т основывается на теории линейных операторов в бесконечномерных нормированных пространствах. К моменту изучения дисциплины студенты не знакомы с основами функционально анализа, которые требуются для понимания этой теории.

Для желающих познакомиться с теорией интегральных уравнений с позиций функционального анализа указана дополнительная литература в конце пособия.

Данное пособие рекомендуется не только физикам, но также студентам естественных и технических специальностей, желающих познакомиться с методами решения основных типов интегральных уравнений.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ

СТАНДАРТ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Направление 510400 Физика

Степень - бакалавр физики

ТРЕБОВАНИЯ К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ БАКАЛАВРА ПО НАПРАВЛЕНИЮ 510400

ФИЗИКА

ЕН.Ф.03

Интегральные уравнения и вариационное исчисление: Линейные операторы в гильбертовом пространстве. Однородное и неоднородное уравнения Фредгольма второго рода. Задача Штурма-Лиувилля. Принцип сжатых отображений. Уравнение Вольтерра.

Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах. Необходимое и достаточные условия экстремума функционала, задачи на условный экстремум , задачи с закрепленными границами и с подвижной границей.

Специальность «Физика – бакалавр».

Аннотация дисциплины «Интегральные уравнения и вариационное исчисление»

Общая трудоемкость 2 ЗЕТ (38 часа)

Цели и задачи дисциплины:

При изучении физических явлений часто строится математическая модель, сводящаяся к необходимости решать уравнения, содержащие неизвестные функции под знаком интеграла. Такие уравнения называются интегральными. Теория линейных интегральных уравнений возникла в начале ХХ века в связи с изучением задач математической физики. В настоящее время она представляет собой важный раздел современной математики, имеющий широкие приложения в теории дифференциальных уравнений, классической и современной математической физике, в задачах естествознания и техники, является ключом к открытию обширной области математики, которая ныне называют функциональным анализом.

Цель курса состоит в кратком изложении основных положений теории и применение её к решению уравнений. Под общим названием «интегральные уравнения» известны вещи, мало похожие одна на другую. Обычно не пытаются дать общего определения интегральным уравнениям, а ограничиваются тем, что перечисляют и изучают наиболее важные классы интегральных уравнений. В данном курсе рассматриваются методы решения интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерры 2-го рода, которые наиболее часто встречаются в приложениях. Цель курса состоит в кратком изложении основных положений теории и применение её к решению уравнений.

В разделе «Вариационное исчисление» исследуется методы отыскания экстремумов функционалов, при разного рода ограничениях: фазовых, дифференциальных, интегральных и т.п. Основным методом получения необходимых условий экстремумов является метод вариаций. Вводятся понятия сильного и слабого экстремумов и изучаются их необходимые условия. Формулируются достаточные условия. Обзорно рассматриваются, часто встречающиеся в приложениях, вариационные задачи с подвижными концами и задачи на условный экстремум, а также основные вариационные принципы механики.

Основные дидактические единицы (разделы )

1. Интегральные уравнения

Историческая справка. Примеры физических задач, приводящих к интегральным уравнениям. Понятие интегрального уравнения. Классификация уравнений по типу его ядра.

Интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода: Существование и единственность решения.

Метод последовательных приближений. Понятие о резольвенте интегрального уравнения.

Интегрирование уравнений с вырожденными ядрами. Метод определителей Фредгольма. Альтернативы Фредгольма

Уравнение Вольтерра: Метод последовательных приближений. Существования и единственности решения Связь между линейными дифференциальными уравнениями и интегральными уравнениями Вольтера. Резольвента интегрального уравнения.

Линейные операторы в гильбертовом пространстве. Скалярное произведение и норма. Ортогональность. Интегральные уравнения с симметрическими ядрами.

Оператор Фредгольма. Характеристические числа и собственные функции. Существование характеристического числа, действительность характеристических чисел, ортогональность собственных функций. Теорема Гильберта – Шмидта. Задача Штурма-Лиувилля. Экстремальные свойства характеристических чисел и собственных функций.

2. Элементы вариационного исчисления:

Предмет вариационного исчисления. Основные определения. Простейшая задача вариационного исчисления. Первая вариация и необходимые условия экстремума функционала.

Вторая вариация и достаточные условия экстремума функционала. Вариационные задачи на условный экстремум. О вариационных задачах с подвижными концами. Вариационные принципы механики: принцип Гамильтона – Остроградского; принцип наименьшего действия.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать основные понятия и теоремы дисциплины.

Уметь определять тип уравнения. Решать поставленные конкретные задачи с применением теории. Владеть различными методами решения уравнений.

Уметь решать задачи отыскания экстремумов функционалов, при разного рода ограничениях:.

Дисциплины, изучения которых необходимо для усвоения курса.

Для изучения курса необходимо знать следующие разделы курса "Математический анализ": дифференцирование функций одного и многих переменных, неопределенный интеграл и определенный интеграл. Из курса "Высшая алгебра" требуется знание разделов: определители и решение систем линейных уравнений.

Виды учебной деятельности: лекции, практические занятия

Изучение дисциплины заканчивается зачетом.

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по курсу «Интегральные уравнения и вариационное исчисление».

Направление 510400 Физика

Степень - бакалавр физики

Семестр: 4.

Зачет

Распределение часов по разделам

Часть 1 Интегральные уравнения

Лекции - 12 ч

Практические занятия – 12ч

Всего - 24ч

№	Тема	Лекции	Практические занятия	Всего
1	Классификация линейных интегральных уравнений. Уравнения Фредгольма и Вольтерра первого и второго рода. Примеры физических задач, приводящих к интегральным уравнениям.	2		2
2	2) Интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода.	4	4	8
3	3) Уравнение Вольтерра 2 рода	2	2	4
4	4) Интегральные уравнения с симметрическими ядрами.	4	6	10
	Всего	12	12	24

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Часть I Интегральные уравнения (лекции)

Введение. Историческая справка. Примеры физических задач, приводящих к интегральным уравнениям. Понятие интегрального уравнения. Классификация уравнений по типу его ядра.

Глава 1 Уравнения Фредгольма (2-го рода)

1. Интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода. Существование и единственность решения (метод малого параметра)

2. Метод последовательных приближений.

3. Понятие о резольвенте интегрального уравнения.

3. Метод определителей Фредгольма

3. Уравнения с вырожденными ядрами.

3. Теоремы Фредгольма

Глава 2 Уравнение Вольтерра

1. Существования и единственности решения Метод последовательных приближений.

2. Резольвента интегрального уравнения.

3. Связь с дифференциальными уравнениями.

Глава 3 Интегральные уравнения с симметрическими ядрами.

1) Оператор Фредгольма. Характеристические числа и собственные функции.

Существование характеристического числа, действительность характеристических чисел, ортогональность собственных функций.

2) Теорема Гильберта – Шмидта. Экстремальные свойства характеристических чисел и собственных функций.

Дополнение:

1. Альтернативы Фредгольма.

2.Задачи из физики, приводящие к интегральным уравнениям.

ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ (12ч.)

1. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма 2-го рода.

2. Решение интегральных уравнений Фредгольма с помощью построения резольвенты.

3 Метод определителей Фредгольма.

4.Решение интегральных уравнений Фредгольма с вырожденными ядрами.

.5. Решение частных видов уравнения Вольтерра методом последовательных приближений

.6. Решение интегральных уравнений Вольтерра с помощью резольвенты.

7. Решение интегральных уравнений Вольтерра методом дифференцирования.

8.Нахождение характеристических чисел и собственных функций однородных интегральных уравнений с вырожденными ядрами и симметричными ядрами

9. Решение неоднородных интегральных симметричных уравнениям.

Типовой расчет по теме: «Интегральные уравнения»

Для студентов группы ФБ – 21

1вариант	2в	3в	4в	5в	6в	7в	8в	9в	10в
1	2	3	4	5	6	7	8	1	2
36	37	38	39	40	41	42	36	37	38
19	20	21	22	23	19	20	21	22	23
87	88	89	90	91	87	88	89	90	91
100	101	102	103	104	105	100	101	102	103
111	112	113	114	115	116	117	118	119	120
123	124	125	126	127	128	129	130	131	132
134	135	136	137	138	134	135	136	137	138
165	166	167	168	169	170	171	172	173	174

Номера задач из книги:

М.Л.Краснов,А.И.Киселев, Г.И. Макаренко «Интегральные уравнения/ (задачи и примеры с подробными решениями) . М.:УРСС. 2007 год

Вопросы к коллоквиуму по разделу «Интегральные уравнения»

1. Классификация линейных интегральных уравнений. Уравнения Фредгольма и Вольтерра первого и второго рода. Примеры физических задач, приводящих к интегральным уравнениям.

2) Интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода. Интегрирование уравнений с вырожденными ядрами.

3. Существование и единственность решения . Интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода. (метод малого параметра)

4. Метод последовательных приближений для интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода.

5. Понятие о резольвенте интегрального уравнения.

6. Метод определителей Фредгольма.

7. Уравнение Вольтера. Метод последовательных приближений.

Существования и единственности решения

8. Связь между линейными дифференциальными уравнениями и интегральными уравнениями Вольтера.

9. Интегральные уравнения с симметрическими ядрами. Существование собственных значений и собственных функций у интегрального оператора с симметричным ядром.

10. Теорема Гильберта-Шмидта.

11. Альтернативы Фредгольма (без доказательства)

ЛИТЕРАТУРА ПО КУРСУ

Основная литература: