2. Геометрический анализ теории фазового строения однослойной ткани проф. Новикова н.Г.

Согласно теории фазового строения ткани проф. Новикова Н.Г. [2÷4] расположение нитей круглого сечения в однослойной ткани полотняного переплетения может быть (определено) обозначено в пределах девяти фаз строения. К первой фазе относится крайний случай: основа располагается в ткани прямолинейно, а изгибается только уток. При девятой фазе наоборот: уток прямолинеен, а основа максимально изогнута. Между первой и девятой фазами основа и уток изогнуты в различной степени. Пятая фаза соответствует равенству высот волн изгиба основы h_wp и утка h_wft в ткани (здесь и далее используются наши обозначения). В качестве основной характеристики структуры ткани проф. Новиков Н.Г. предложил отношение высот волн изгиба основы h_wp и утка h_wft. Разницу порядка соседних фаз автор предложил определять в размере 1/4 диаметра нитей основы и утка.

Сурнина Н.Ф. [5] предложила выразить отношение волн изгиба нитей основы и утка коэффициентом K_h (у нас обозначено как К_h^N).

В Табл.1 для всех девяти фаз представлены значения коэффициента K_h^N = h_wp / h_wft [2÷4]. Следует обратить внимание: для первой фазы K_h^N = 0/8 = 0, а для девятой K_h^N= 8/0 = . Теоретически при первой фазе нити основы могут занимать положение одна над другой, а при девятой – нити утка. Как отмечает сам автор, эти положения нитей практически получить невозможно. Существенным недостатком является также обозначение номера фазы целым числом. На практике вынуждены использовать малоинформативные выражения (обозначения) типа: «данная ткань имеет строение между третьей и четвертой фазами, ближе к третьей». Поэтому ряд последующих исследователей предложили характеризовать фазу строения ткани в виде дробного числа. Например, проф. К.Г.Алексеев в своей работе [6] предложил обозначать фазу строения ткани как Ф = h_wp / h_wft. В соответствии с этим обозначением, например, число 5,6 более информативно указывает на принадлежность структуры ткани к промежуточной фазе: между пятой и шестой, ближе к шестой.

Таблица 1

Величина коэффициента KhN отношения высот волн изгиба нитей в ткани по Новикову н.Г.

Порядок фазы строения ткани NF	1	2	3	4	5	6	7	8	9
KhN = hwp/hwft	0:8 = =0,000	1:7 = =0,143	1:3 = =0,333	3:5 = =0,600	1:1 =1,0	5:3= =1,666	3:1= =3,00	7:1= =7,000	8:0 = 

Необходимость компьютеризации всех видов деятельности во всех областях знаний заставляет исследователей при разработке новых современных технологий в первую очередь ориентироваться на особенности построения алгоритмов программного продукта: простоту вычислений, логичность, определенность искомого значения реального объекта в границах варьирования фактора при желательной непрерывности его изменения и др. Отсутствие четкой математической модели изменения порядка фазы в теории строения ткани проф. Новикова Н.Г. и невозможность использования на практике обозначенных им первой и девятой фаз привели к необходимости разработки нового метода расчета фаз структуры однослойных тканей.

Глузкер А.

С целью устранения недостатков и сохранения ценной сущности теории проф. Н.Г.Новикова попытаемся сначала установить закономерность изменения величины отношения высот волн изгиба нитей в ткани по мере перехода от рассматриваемой фазы к последующей на основе данных Табл.1.

Анализ различных вариантов изыскания математического отображения этого закона показал целесообразность использования основного метода аналитической геометрии – метода координат. В качестве значений аргумента по оси абсцисс принимаем X= N_F , а значения функции по оси ординат - Y = K_h^N = f (N_F). С помощью координат точек можно будет алгебраически решить поставленную геометрическую задачу: определить вид функции f (N_F) и форму кривой как множество точек, объединенных общим и характерным для них геометрическим свойством.

Предположим, что данная интерполирующая функция f(X) может быть представлена в виде многочлена n-ной степени по отношению к X (N_F), Яковлев, [7] :

Y = f (X) = a_o Xⁿ + a₁ X^n-1 + a² X^n-2 +…+a_n (1)

Такой многочлен графически изображается кривой n-го порядка параболического типа.

Чтобы найти искомую функцию, необходимо определить степень многочлена n и величину его коэффициентов a_i . Теоретически значения коэффициентов а_i можно найти из решения системы линейных уравнений, однако на практике эта процедура является сложной вычислительной задачей при неизвестной степени многочлена n. В нашем случае, ориентируясь на Табл.1, можно заметить, что значения аргумента X образуют арифметическую прогрессию с постоянным интервалом ∆N_F = 1. Это позволяет использовать случай равноотстоящих значений аргумента методом оперирования разностями функции f(X) различных порядков [7].

Для определения степени этого многочлена заполним диагоналевую таблицу разностей (Табл.2), где X_o=1; Y_o=0; h =1; n = 7; Y_o=Y₁-Y_o = 0,143 ; Y₁=Y₂-Y₁ = 0,190; ²Y_o= Y₁-  Y_o = 0,047; ³Y_o=²Y₁-²Yo = 0,030; и т.д.

Таблица 2

Таблица разностей ⁿY

X (NF)	Y (Kh)	Δy (∆Kh)	Δ2 y	Δ 3y	Δ4 y	Δ5 y	Δ6 y	Δ7 y
1	0
2	0,143	0,143
3	0,333	0,190	0,047
4	0,600	0,267	0,077	0,030
5	1,0	0,4	0,133	0,056	0,026
6	1,666	0,666	0,266	0,133	0,077	0,051
7	3,0	1,334	0,668	0,402	0,269	0,192	0,141
8	7,0	4,0	2,666	1,998	1,596	1,327	1,135	0,994

Вычисляя последовательно разности всё более высокого порядка, к сожалению, мы не находим разности одинаковой величины, что указывало бы на окончание поиска степени многочлена. Поэтому пришлось заполнить всю таблицу для всех возможных порядков разностей ⁿY . В результате из Табл. 2 можно определить искомую степень нашего многочлена n = 7.

Для определения значений коэффициентов а_i нашей интерполирующей функции воспользуемся формулой Ньютона [7] :

Y= Y_o + (X - X_o) + (X - X_o)(X –X₁) + (X –X₀)(X – X₁)(X – X₂) +…

…+ (X -X_o)(X –X₁)(X – X₂)…(X – X_n-1) (2)

После подстановки численных значений рассматриваемых параметров из Табл.2 в формулу (2) находим искомый вид функции с конкретными значениями коэффициентов а_i . В итоге, применительно к нашим обозначениям получаем формулу для определения коэффициента отношения высот волн изгиба нитей в однослойной ткани по мере перехода от данной фазы к последующей в соответствии с теорией проф. Н.Г.Новикова:

К_h^N = 0,143(N_F -1) + 0,0235(N_F -1)(N_F-2) + 0,005(N_F -1)(N_F –2)(N_F -3) +

+ 0,00108(N_F -1)(N_F -2)(N_F -3)(N_F -4) + 0,000425 (N_F -1)(N_F -2)(N_F -3)(N_F -4)(N_F -5) + + 0,0001958(N_F -1)(N_F -2)(N_F -3)(N_F -4)(N_F -5)(N_F -6) +

+ 0,0001972(N_F -1)(N_F -2)(N_F -3)(N_F -4)(N_F -5)(N_F -6)(N_F -7) (3)

Анализ громоздкой формулы (3) показывает на существенную ограниченность её использования.

Геометрическая аппроксимация функции (3) представлена на Фиг.2 в виде пунктирной кривой линии K_h^N , которая в качестве образца позволяет провести изыскание более простого закона К_h = f (N_F).

ФИГ.2