7.3 Оценка случайных погрешностей при точных измерениях

Если исключить систематические ошибки и грубые промахи, то даже при использовании средств измерений повышенной точ­ности на результаты измерений будут оказывать влияние раз­личные случайные факторы, не поддающиеся учету и контролю. К числу таких факторов относятся: физиологическое состояние органов чувств экспериментатора, случайные вибрации отдель­ных частей измерительных устройств, неучтенное изменение внешних факторов и т. п. При этом результаты отдельных изме­рений обнаруживают характерную картину случайного рассея­ния, описываемую нормальным законом распределения:

где f (x) – плотность вероятности измеряемых значений величины; m - математическое ожидание, являющееся наиболее вероятным значением измеряемой величины Х и представляющее собой среднее арифметическое значение:

- среднее квадратическое отклонение измеряемой величины

Случайная составляющая погрешностей косвенных измере­ний может быть строго определена только при условии, что зависимость (1.1) может быть линеаризована с достаточной точ­ностью.

Если непосредственно измеряемые величины х,- являются разнородными, то пользуются относительными погрешностями.

При измерении любой физической величины принципиально невозможно определить истинное значе­ние этой величины.

Методические погрешности могут быть уменьшены при изменении и усовершенствовании метода измере­ния, при введении уточнений или поправок в расчетную формулу.

Случайные погрешности вызываются многими факторами, не поддающимися учету.

Полностью избавиться от случайных погрешностей невозможно, но их можно уменьшить за счет многократ­ного повторения измерений. При этом влияние факто­ров, приводящих к завышению и к занижению резуль­татов измерений, может частично компенсироваться.

В качестве результата измерения какой-то физи­ческой величины принимают среднее арифметическое А_ср из n измерений:

Модуль отклонения результата i-го измерения A _i от среднего арифметического A _ср

называется абсолютной погрешностью данного изме­рения.

Средней абсолютной погрешностью ΔА _ср серии из n измерений называется величина, равная

Для сравнения точности измерения физических вели­чии подсчитывают относительную погрешность Е:

которую обычно выражают в процентах.

Окончательно результат измерения физической ве­личины А представляют в виде

причем в качестве абсолютной погрешности ΔА прини­мают наибольшую из средней абсолютной и приборной погрешностей (в более строгих расчетах погрешность ΔА выбирают из сопоставления случайной и приборной погрешностей). Такая запись говорит о том, что истин­ное значение измеряемой величины заключено в интер­вале от А _ср - Δ А до А_ср + Δ А.

На шкалах многих измерительных приборов ука­зывается так называемый класс точности. Условным обозначением класса точности является цифра, обведен­ная кружком. Класс точности определяет абсолютную приборную погрешность в процентах от наибольшего значения величины, которое может быть измерено дан­ным прибором. Например, амперметр имеет шкалу от 0 до 5 ампер и его класс точности равен 1,0. Абсолют­ная погрешность измерения силы тока таким ампер­метром составляет 1,0 % от 5 ампер, т. е.

Если класс точности на шкале прибора не указан, то абсолютную погрешность прибора обычно принимают равной половине цены наименьшего деления шкалы прибора. Например, абсолютная погрешность измере­ния длины миллиметровой линейкой часто принимается равной ±0,5 мм.

При, определении абсолютной погрешности прибора по цене деления нужно обращать внимание на то, как производится измерение данным прибором, чем и как регистрируются результаты измерения, каково расстоя­ние между соседними штрихами на шкале прибора и т. д. Если, например, измеряется расстояние от пола до подвешенного на нити груза при помощи миллимет­ровой линейки без каких-либо указателей, визиров и т. п., то абсолютная погрешность измерения не может быть принята меньшей, чем один миллиметр. Прибор­ная погрешность принимается равной цене деления и в тех случаях, когда деления на шкале прибора нане­сены очень часто, когда указателем прибора является не плавно перемещающаяся, а «скачущая» стрелка (как, например, у ручного секундомера) и т. д.