Ряды динамики методические указания к решению типовых задач 21-30

Ряд динамики – это ряд изменяющихся во времени числовых значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке.

В зависимости от характера отображаемого явления ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин.

Скорость и интенсивность развития явления во времени осуществляется с помощью показателей, которые получаются в результате сравнения уровней между собой. Если сравнивается текущее значение с предыдущим, получаем цепные показатели, если текущее значение сравнивается с начальным (базисным) значением, получаем базисные показатели.

Таблица 6

Показатели анализа ряда динамики

Показатель	Формула расчета		Характеристика показателя
	базисный	цепной
Абсолютный прирост			Показывает абсолютный размер увеличения (или уменьшения) уровня явления за определенный промежуток времени
Абсолютное ускорение	-		Показывает насколько данная скорость изменения показателя больше (меньше) предыдущей
Относительное ускорение	-		Показывает коэффициент прироста абсолютного прироста. Вычисляется лишь в том случае, если абсолютный прирост, принятый за базу сравнения, число положительное
Коэффициент роста (темп роста)			Показывает относительную скорость изменения уровня явления. Показатель, выраженный в процентах, называется темпом роста.
Коэффициент прироста (темп прироста)			Показывает, на сколько единиц (процентов) произошло увеличение (снижение) данного показателя
Абсолютное значение 1% прироста	-		Показывает абсолютную величину показателя, содержащуюся в 1% прироста
Коэффициент наращивания (Темп наращивания)		-	Показывает относительную скорость изменения экономического потенциала относительно базы сравнения

где у_i - текущий уровень ряда;

у₀ - базисный уровень;

у_{i - 1} - предшествующий уровень;

i - номер уровня.

Средние показатели анализа ряда динамики необходимы для обобщения характеристик тенденции за длительный период времени. К ним относятся: средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста.

Таблица 7

Средние показатели анализа ряда динамики

Показатель	Формула расчета	Характеристика показателя
Средний уровень ряда	- интервальный ряд с равноотстоящими уровнями - интервальный ряд с неравноотстоящими уровнями - моментный ряд с равноотстоящими уровнями - моментный ряд с неравноотстоящими уровнями	Показывает усредненную величину изменения ряда динамики.
Средний абсолютный прирост	- по цепной системе - по базисной системе	Показывает, на сколько единиц в среднем происходило увеличение (снижение) анализируемого показателя в единицу времени.
Средний коэффициент роста	- по цепной системе - по базисной системе	Показывает среднюю относительную скорость изменения уровня явления (в долях единицы – коэффициент роста, в процентах – темп роста).
Средний темп роста
Средний темп прироста		Показывает, на сколько процентов произошло увеличение (снижение) показателя в среднем в единицу времени.

где - уровни ряда динамики;

- интервалы времени между смежными датами;

n – число уровней ряда;

m – число коэффициентов роста;

у_n- последний уровень временного ряда;

у₀ - базисный (начальный) уровень ряда.

При анализе рядов динамики необходимо определить общую тенденцию развития. На развитие явления во времени могут оказывать влияние различные факторы, одни из них могут формировать в рядах динамики определенную тенденцию в развитии, другие - оказывают кратковременное воздействие.

При выявлении общей тенденции развития явления применяются различные приемы и методы выравнивания:

а) усреднение по левой и правой половине;

б) укрупнение интервалов;

в) сглаживание рядов динамики на основе скользящих средних;

г) аналитическое выравнивание и др.

Рассмотрим два последних метода. Сглаживание рядов динамики на основе скользящих средних основана на вычислении звеньев подвижной средней из такого числа уровней ряда, которая соответствует длительности наблюдаемых в ряду динамики циклов. То есть изначально выбирается период скольжения, равный двум, трем, четырем и т.д. периодам.

Например, трехчленная скользящая средняя исчисляется по следующей схеме:

(первая средняя),

(вторая средняя),

(третья средняя) и т.д.

А для ряда внутригодовой динамики применяется чаще всего четырехчленные скользящие средние. Их расчет состоит в определении средних величин из четырех уровней ряда с отбрасыванием при вычислении каждой новой средней одного уровня ряда слева и присоединением одного уровня справа:

(первая средняя),

(вторая средняя),

(третья средняя) и т.д.

Чтобы отнести скользящую среднюю к определенному периоду необходимо провести центрирование расчетных средних, определяемых как простая средняя арифметическая из 2-х рядом лежащих скользящих средних:

(1-й сглаженный средний уровень),

(2-й сглаженный средний уровень)

(3-й сглаженный средний уровень) и т.д.

Пример

Таблица 8

Имеются данные о производстве деталей на заводе, тыс. штук.

Месяц	у, тыс.штук	Четырехмесячная скользящая средняя
		нецентрированная	центрированная
январь	15,3
февраль	16,8	16,4
март	16,4	16,9	16,6
апрель	16,9	16,9	16,9
май	17,5	17,1	17,0
июнь	16,9	17,3	17,2
июль	17,1	17,1	17,2
август	17,5	17,4	17,2
сентябрь	16,9	17,7	17,5
октябрь	17,9	18,0	17,8
ноябрь	18,5
декабрь	18,6

Центрированные средние наносят на график с эмпирическими данными.

Рис. 3. Динамика производства деталей на заводе, тыс. штук

Особенность способа сглаживания рядов динамики на основе скользящих средних заключается в том, что полученные средние не дают теоретических рядов, в основе которых лежала бы определенная математическая закономерность.

Более совершенным приемом изучения общей тенденции в рядах динамики является аналитическое выравнивание. Оно основано на допущении, что изменения в рядах динамики могут быть выражены определенным математическим законом. На основе теоретического анализа выявляется характер явления во времени и на этой основе выбирается то или иное математическое выражение типа закономерности изменения явления:

- линейная функция

- полином второго порядка

- полином третьего порядка

- степенная функция

- показательная функция

и другие.

Данный прием сводится к следующему:

а) на основе экономического анализа явления за рассматриваемый период времени выявляется его характер;

б) исходя из характера явления выбирается то или иное математическое уравнение;

в) определяются параметры уравнения;

г) рассчитываются теоретические (выровненные) уровни ряда динамики, которые наносятся на график эмпирических значений;

д) прогнозируются уровни динамического ряда на основе аппроксимирующей модели на предстоящий период.

Рассмотрим выравнивание ряда динамики по прямой (таблица 9). Задача аналитического выравнивания решается с помощью метода наименьших квадратов, смысл которого состоит в том, что вычисленная линия теоретических уровней должна проходить в максимальной близости к фактическим уровням ряда, то есть

где y – исходные (эмпирические) уровни динамического ряда;

- расчетные (теоретические) уровни ряда динамики.

Выравнивание по прямой осуществляется по формуле:

где y – исходные (эмпирические) уровни ряда динамики

a и b – параметры уравнения,

t – время

Параметры уравнения находятся на основе системы уравнений:

Расчет параметров заметно упрощается, если перенести начало отсчета времени в середину исходного ряда (что бы ). Причем, если число уровней ряда нечетное, нумерация t следующая: …-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3…. ; а если число уровней ряда четное, нумерация t будет следующая: …-5, -3, -1, +1, +3, +5….

При условии, что t=0 (графа В таблицы 9) исходные нормальные уравнения принимают вид:

,

отсюда .

Необходимые величины рассчитаны в графах Г и Д таблицы 9.

Параметризованное уравнение имеет вид

В полученное параметризованное уравнение подставляют значения t и получают расчетные значения результативного признака (графа Е таблицы 9), которые и являются тенденцией данного явления. Их наносят на график с эмпирическими данными.

Таблица 9