Решение задачи № 7

Для решения этой задачи нужно изучить раздел «Схема Бернулли» Вероятность того, что событие (в данном случае – попадание в мишень) совершится в независимых испытаниях точно раз, находится по формуле Бернулли: , где – вероятность того, что событие произойдет в одном испытании, а .

а) Пусть – исследуемое событие. Используя формулу вероятности суммы несовместных событий, получаем:

.

б) Пусть – нужное событие. Имеем:

.

в) Пусть – изучаемое событие. Тогда и

.

Решение задачи № 8

Для решения этой задачи необходима формула полной вероятности.

Введем полную систему гипотез:

– извлечен и переложен белый шар;

– извлечен и переложен черный шар.

Так как в первой урне всего 11 шаров, а среди них 6 белых и 5 черных, то и . Пусть – событие, заключающееся в том, что извлеченный из второй урны шар оказался белым. Если выполнилась гипотеза , то во второй урне стало всего 20 шаров и среди них 5 белых. Поэтому . Если выполнилась гипотеза , то во второй урне стало всего 20 шаров и среди них 4 белых. Поэтому . По формуле полной вероятности имеем:

.

Рекомендации по выполнению заданий 10-11

Теоретический материал и подробное решение типовых задач по теме: «Дискретная случайная величина» можно найти в § 2-6 главы VI; в § 1-5 главы VII (стр.75);, в § 3-7 главы VIII учебника [1] (стр. 85); в § 1–3 главы IV учебного пособия [2].

Решение задачи № 10

В таблице, представляющей собой закон распределения с.в. , не заполнена одна ячейка во второй строке. Однако известно, что сумма чисел в этой строке должна равняться единице. Таким образом, в этой ячейке запишем число :

	-7	-2	3	8
	0,1	0,3	0,25	0,35

По свойству 4 математического ожидания равно скалярному произведению 1-й и 2-й строк этой таблицы То есть,

.

Перейдем к нахождению дисперсии . Сначала составим закон распределения с.в. :

	49	4	9	64
	0,1	0,3	0,25	0,35

(тот факт, что в первой строке этой таблицы числа идут не по возрастанию, не влияет на правильность вычислений). Находим :

.

По свойству 1 дисперсии (формула(21) в лекции 5) имеем:

.

Среднеквадратичное отклонение вычисляется по формуле:

.

Так как с.в. только четыре значения: , то

Согласно определению 20 функция распределения с.в. задается равенством: . Поэтому:

• при ;

• при ;

• при ;

• при ;

• при .

Начертить график этой функции самостоятельно!

Рекомендации по выполнению заданий 12-15

1.Теоретический материал и подробное решение типовых задач по теме: «Непрерывная случайная величина» можно найти в § 1-5 главы ХI; в § 1-7 главы ХII, в § 1-4 главы ХIII учебника [1]; и в § 1-6 главы VI учебного пособия [2].

Решение задачи № 12

Если , то и первое условие плотности выполняется.

Определим, при каком выполняется второе условие плотности, то есть. Имеем по свойству аддитивности интеграла:

.

Итак, . Таким образом,

График данной функции имеет вид:

Математическое ожидание вычислим по формуле :

.

Функцию распределения вычислим по формуле: .

Если , то .

Если , то

.

Если , то

.

Таким образом,

График данной функции имеет вид:

Из свойства аддитивности вероятности следует:

.

.

По формуле , так как функция непрерывна (см., например, чертеж). Следовательно, .

Решение задачи № 13

Для решения этой задачи надо изучить нормальный закон распределения.

Параметрами данного нормального закона являются числа (математическое ожидание) и (среднеквадратичное отклонение). Функция распределения этого закона вычисляется по формуле , где – затабулированная функция Лапласа. Применяя формулы, а также нечетность функции , имеем:

;

.

Решение задачи № 14

Пусть – с.в., равная ошибке измерения. Известно, что , а так как систематических ошибок нет, то . Действуя так же, как и в предыдущей задаче, получаем:

.