Рекомендации по выполнению контрольной работы

3. Теория вероятностей и математическая статистика

Прежде всего, используя рекомендуемую литературу, необходимо изучить теоретический материал по темам:

Тема 1.2. Элементы комбинаторики

Тема 1.3. Основные понятия теории вероятностей

Тема 1.4. Случайные события

Тема 2.1. Случайные величины и случайные вектора

Тема 2.2. Числовые характеристики распределений случайных величин

Тема 2.3. Основные законы распределений случайных величин

Рекомендуемая литература

1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие/ В. Е. Гмурман. – М.: Высшее образование, 2010.

2. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие/ В. Е. Гмурман. – М.: Высшее образование, 2010.

3. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие [Электронный ресурс] /В.С. Мхитарян [и др.].— М.: Московский финансово-промышленный университет «Синергия», 2013.— 336 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/17047

Задачи по теории вероятностей.

Рекомендации по выполнению заданий 1-9

1. Теоретический материал и подробное решение типовых задач по теме: «Классическое вероятностное пространство» можно найти в § 3, § 5 главы I учебника [1]; в § 1 главы I учебного пособия [2]

2. Теоретический материал и подробное решение типовых задач по теме: «Теоремы сложения и умножения» можно найти в главах II и III учебника [1] (стр. 31-44), в § 1, § 2 главы II учебного пособия [2].

3. Теоретический материал и подробное решение типовых задач по теме: «Формула полной вероятности и формулы Байеса» можно найти в § 2, § 3 главы IV учебника [1] (стр. 50-54); в § 3, § 4 главы II учебного пособия [2].

4. Теоретический материал и подробное решение типовых задач по теме: «Повторение испытаний» можно найти в § 1 главы V учебника [1] (стр. 55); в § 1, § 4 главы III учебного пособия [2] .

Решение задачи № 1

Событие можно словесно описать так: нужная формула содержится в 1-м справочнике и не содержится во 2-м и 3-м, или формула содержится во 2-м справочнике и не содержится в 1-м и 3-м, или формула содержится в 3-м справочнике и не содержится в 1-м и 2-м. По определению произведения событий и противоположного события первая фраза соответствует событию , вторая фраза – событию , третья фраза – событию . Теперь из определения суммы событий получаем:

= + + .

Событие описывается так: нужной формулы нет ни в 1-м, ни во 2-м, ни в 3-м справочнике. Опять по определению произведения событий и противоположного события получаем:

= .

Из определения противоположного события ясно, что . Поэтому

= .

Такой способ записи полезен, если требуется вычислить вероятность этого события. Другой способ записи события вытекает из его словесного описания: нужная формула содержится или в 1-м справочнике, или во втором, или в третьем. То есть

.

Совпадение двух полученных выражений следует из одного из законов Де Моргана (покажите это самостоятельно!).

Решение задачи № 2

Для решения этой задачи нужно хорошо освоить определение классического вероятностного пространства.

Результатом каждого бросания двух костей является пара чисел, выпадающих на верхних гранях этих костей. Таким образом, пространство элементарных событий (исходов), связанное с данным экспериментом, есть множество упорядоченных пар , где и принимают значения 1,2,…,6. Следовательно, множество элементарных событий состоит из 36 элементов. Так как выпадения любых двух таких пар можно считать равновероятными, то для расчета вероятностей следует применять классическую схему. Итак, .

а) Сумма выпавших очков равна 8 у следующих исходов: , , , , , . Следовательно, и .

б) Сумма выпавших очков равна 6, а произведение 9 только у исхода . Следовательно, и .

в) Сумма выпавших очков у следующих исходов: , , , , , , , , , . Следовательно, и .

г) В данном пункте разность очков понимается в том смысле, что из большего выпавшего числа вычитается меньшее. Таким образом, разность выпавших очков меньше 2 у следующих исходов: , , , , , , , , , , , , , , , . Следовательно, и .

д) Сумма очков расположена в промежутке [4; 10] (событие ) у следующих исходов: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . Следовательно, и . Эту задачу можно решить проще, если перейти к противоположному событию : сумма выпавших очков меньше 4 или больше 10. Этому событию благоприятствуют исходы: , , , , , . Следовательно, , и . Результаты в обоих решениях совпадают.

Решение задачи № 3

Эксперимент в данной задаче состоит в извлечении наудачу трех из шестнадцати деталей, находящихся в ящике. Будем считать две такие выборки из 16-ти деталей по 3 различными, если одна из этих выборок содержит деталь, не принадлежащую другой. Число различных выборок из 16-ти по 3 равно, как известно, . Эти выборки естественно считать равновероятными, поэтому применима классическая схема. Таким образом, .

а) Событию «извлеченные детали качественные» благоприятствуют те выборки, которые получаются извлечением деталей только из 12 качественных деталей, находящихся в ящике, то есть . Следовательно,

.

б) Событию «среди извлеченных деталей 2 бракованные» благоприятствуют те выборки, которые получаются, когда одна деталь извлечена из группы двенадцати качественных деталей, а 2 детали извлечены из группы четырех бракованных деталей. В такой выборке одна качественная деталь может произвольным образом «состыковываться» с двумя бракованными деталями. Поэтому . Следовательно, .

Решение задачи № 5

Для решения данной задачи нам понадобится понятие условной вероятности.

Введем события:

– при изготовлении формы возникла трещина,

– форма забракована.

По условию имеем: , . Из определения условной вероятности вытекает: . Из условия задачи ясно, что деталь может быть забракована только в случае, если она имеет трещину, т.е. . Следовательно, . По свойству 1 вероятности форма не бракуется с вероятностью .

Пусть событие заключается в том, что -я форма не забракована. Тогда событие означает, что обе выбранные формы не забракованы. Так как события и независимы, то .