9.1. Элементы математической логики Исчисление высказываний

Исчисление высказываний - это совокупность правил для определения истинности или ложности высказываний.

Высказывание - это предложение, которое либо истинно, либо ложно.

Предложение x² = 4, например, не является высказыванием, т.к. чтобы говорить об истинности или ложности высказывания, нужны дополнительные сведения (чему равно число x). В этом предложении x - некоторая переменная, вместо которой можно подставить элементы некоторого множества, называемые значениями этой переменной.

Предложение, которое содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием при подстановке вместо всех переменных их значений, называется высказывательной формой (ВФ).

В математической логике всякое предложение, составленное из высказываний с помощью логических связок (и; или; если то; тогда и только тогда, когда и т.п.), становится высказыванием.

Операции над высказываниями

1. Конъюнкция

A Ù B (A&B)

2. Дизъюнкция

A Ú B (A+B)

3. Отрицание

^~A ( )

1. Импликация

(Если a, то b)

Определение импликации иллюстрирует таблица 9.1.

Таблица 9.1.

Определение импликации

Определение импликации соответствует употреблению союза "если-то" не только в математике, но и в обыденной речи. По определению логической операции смысл составляющих высказываний не учитывается. Составляющие высказывания рассматриваются как объекты, обладающие единственным свойством: быть истинными или ложными.

Исчисление предикатов

Исчисление предикатов является расширением логики высказываний.

Рассмотрим высказывательную форму sin(x)=1. Данная форма каждому x на множестве действительных чисел ставит в соответствие некоторое высказывание и тем самым одно из значений истинности. Таким образом, данная высказывательная форма задаёт отображение множества действительных чисел R на множество значений {Истина, Ложь}, то есть задаёт функцию с областью определения R и множеством значений {Истина, Ложь}.

Функция, все значения которой принадлежат множеству {Истина, Ложь}, называется предикатом. Чаще всего предикаты задаются с помощью высказывательных форм.

Например,

- одноместная высказывательная форма,

- предикат с двумя неизвестными,

- трехместная высказывательная форма.

Операции над высказывательными формами

Конъюнкцией высказывательных форм Ф₁ и Ф₂ называется высказывательная форма, истинная при тех и только при тех значениях входящих в неё переменных, которые обращают обе формы в истинное высказывание.

Дизъюнкцией высказывательных форм Ф₁ и Ф₂ называется высказывательная форма, ложная при тех и только при тех значениях входящих в неё переменных, которые обращают обе формы в ложное высказывание.

Отрицанием высказывательной формы Ф называется высказывательная форма, ложная при тех наборах значений переменных, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание и наоборот.

Импликацией высказывательных форм Ф₁ и Ф₂ называется высказывательная форма Ф₁ Ф₂, ложная при тех и только при тех значениях входящих в неё переменных, которые обращают Ф₁ в истинное высказывание, а Ф₂ - в ложное.