5.3. Модель Шика–Волвертона

Данная модель является модификацией модели Джелинского–Моранды и была предложена Шиком и Волвертоном.

Дополнительно к допущениям модели Джелинского–Моранды используется следующее допущение: частота появления ошибок пропорциональна времени отладки программы t_i, т.е. вероятность обнаружения ошибок с течением времени должна возрастать.

где:

E₀ – число ошибок в ПО до начала тестирования и отладки;

K_sw – коэффициент Шика-Волвертона;

t_i – интервал времени между (i-1)-й и i-й обнаруженными ошибками;

i – число ошибок обнаруженных к моменту отладки t_i.

Для вероятности безотказной работы имеем следующее выражение:

Функция плотности будет иметь вид:

Пример.

Оценка характеристик модели Шика-Волвертона E₀ и K_sw осуществляется при помощи метода максимального правдоподобия.

Пусть интервалы времени между отказами

t₁=7 час.; t₂=12 час.; t₃=23 час.; t₄=17 час.; t₅=10 час..

Пусть число найденных ошибок n = 5.

Функция правдоподобия будет иметь вид:

.

Возьмём натуральный логарифм от функции правдоподобия, чтобы произведение функций заменить суммой:

.

Возьмём частные производные по E₀ и K_sw и найдём условия экстремума:

и оценку числа ошибок

Рассмотренные модели Джелинского-Моранды, Шика-Волвертона можно использовать как на этапе тестирования и отладки, так и на этапе эксплуатации.

5.4. Геометрическая модель

Рассмотрим геометрическую модель надёжности ПО, предложенную Морандой.

В данной модели предполагается, что исходное число ошибок в программе – величина не фиксированная, более того все ошибки не равновероятны. Считается также, что по мере отладки обнаруживать ошибки становится все труднее, таким образом, ПО никогда не освобождается от ошибок. Основные исходные предпосылки для этой модели следующие:

1. общее число ошибок неограниченно;

2. обнаружение ошибок не равновероятно;

3. обнаружение ошибок – процесс, независимый от ошибок;

4. ПО работает в условиях, близких к реальным;

5. интенсивность обнаружения ошибок образует геометрическую прогрессию и она в интервале между появлениями ошибок постоянна.

Интенсивность отказов имеет следующий вид:

,

где: λ (0) = D – исходное значение интенсивности отказов;

K – константа пропорциональности 0 < K < 1;

t_i – время между появлениями (i – 1)-ой и i-ой обнаруженных ошибок.

Пример.

Нахождение характеристик геометрической модели методом максимального правдоподобия.

Пусть интервалы времени между появлениями ошибок

t₁=7 час.; t₂=12 час.; t₃=23 час.; t₄=17 час.; t₅=10 час.

Число ошибок n = 5.

Функция правдоподобия примет вид:

Прологарифмировав и взяв частные производные по D и K, получим условия экстремума:

Полагая и решая систему уравнений (5.3), получаем оценки максимального правдоподобия

и

Среднее время до обнаружения (n+1)–ой ошибки:

Значения интенсивности отказов на каждом интервале тестирования приведены в таблице 5.1.