Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
19
Добавлен:
15.06.2014
Размер:
114.69 Кб
Скачать

Многочлены и функции от оператора.

Пусть j: Vk® Vk линейный оператор, a0+a1x+…+amxm = p(x) – многочлен над полем k.

Определение.

Положим: p(j) = a0idV+a1j+…+amjm. Оператор p(j): Vk® Vk называется многочленом от оператора j. Если V конечномерно, e – базис V и A = Ae(j) – матрица оператора в этом базисе, то, очевидно, Ae(p(j)) = a0E+a1A+…+amAm. Эта матрица обозначается p(A) и называется многочленом от матрицы A.

Отметим, что по формуле замены базиса p(S-1AS) = S-1p(A)S.

Поскольку степени одной матрицы коммутируют между собой, для любых многочленов p и q имеет место формула: p(A)q(A) = q(A)p(A). Точно также коммутируют и операторы p(j) и q(j).

Теорема.

Собственный вектор v оператора j, отвечающий собственному значению l, является собственным и для оператора p(j), причем соответствующее собственное значение равно p(l).

Доказательство.

Из равенства j(v) = lv индукцией по k выводим равенство jk(v) = lkv. Отсюда следует, что p(j)v = (a0id+a1j+…+amjm)v = a0v+a1lv+…+amlmv = p(l)v.

Лемма.

Пусть A – квадратная матрица, имеющая блочный вид , где матрицы B и C квадратные, а элементы, обозначенные звездочкой, не играют роли. Тогда для всякого многочлена p имеем: .

(Индукцией по k выводится равенство , после чего утверждение становится очевидным).

Следствие.

Если A = diag(l1,l2, …ln), то p(A) = diag(p(l1), p(l2), …p(ln)). Если A – верхняя треугольная матрица с диагональными элементами l1,l2, …ln, то p(A) – также верхняя треугольная с диагональными элементами p(l1), p(l2), …p(ln).

Теорема Гамильтона-Кэли.

Каждая квадратная матрица A является корнем своего характеристического многочлена, то есть pA(A) = 0.

Доказательство.

Будем считать, что элементы матрицы A лежат в поле kÌC и порядок A равен n. Рассмотрим линейный оператор j: Cn® Cn, действующий по формуле: j(x) = Ax. Тогда A = Ae(j), где e – стандартный базис пространства Cn. Проведем индукцию по n. Если n = 1 и A = (a), то pA(x) = a-x и потому pA(A) = a-a = 0. Пусть результат уже доказан для матриц порядка (n-1) и A имеет порядок n. Характеристический многочлен pA(x) по теореме Гаусса имеет в поле C корень l. Пусть h1 – собственный вектор оператора j, относящийся к собственному значению l. Включим вектор h1 в некоторый базис h = (h1,…, hn) пространства Cn. Матрица B = Ah(j) имеет вид: , где CÎMat(n-1)´(n-1)(C). Раскладывая определитель det(B-xE) по первому столбцу, приходим к равенству: pB(x) = (l-x)pC(x). По предположению индукции pC(C) = 0. Используя лемму, получаем: . Но тогда pB(B) = (lE-B)pC(B) = . Поскольку A и B – матрицы одного оператора в разных базисах, имеем A = S-1BS и pA(x) = pB(x). Следовательно, pA(A) = pB(A) = pB(S-1BS) = S-1pB(B)S = 0, что и требовалось доказать.

Следствие 1.

Для любого оператора в конечномерном пространстве справедливо равенство: pj(j) = 0.

Следствие 2.

Если два многочлена p1 и p2 совпадают на спектре S матрицы A, то p1(A) = p2(A).

В самом деле, если (p1-p2)|S = 0, то pA|(p1-p2). Записывая p1-p2 = pAr, получаем: p1(A)-p2(A) = pA(A)r(A) = 0.

Замечание.

В процессе доказательства было показано, что всякая матрица A с комплексными элементами подобна матрице вида , где l - одно из ее собственных значений. Отсюда по индукции получается, что A подобна верхней треугольной матрице , причем набор l1,…,ln совпадает со спектром матрицы A. Значит, согласно следствию к предыдущей теореме, спектр матрицы p(A) совпадает с набором p(l1),…, p(ln). Отметим, в частности, что det p(A) = p(l1)…p(ln).

Примеры.

  1. Если для квадратной матрицы A порядка n существует такое число N, что AN = 0, то матрица A называется нильпотентной, а наименьшее число N в последнем равенстве – показателем ее нильпотентности. Единственная матрица с показателем нильпотентности 1 – нулевая матрица. Легко проверить, что матрица при p ¹ 0 имеет показатель нильпотентности 2. Заметим, что все корни характеристического многочлена нильпотентной матрицы равны 0. В самом деле, если lÎC один из его корней и vÎCn соответствующий собственный вектор, то ANv = lNv = 0 и потому l = 0. Следовательно, pA(x) = xn. По теореме Гамильтона-Кэли отсюда следует, что An = 0. Итак, показатель нильпотентности матрицы не может превосходить ее порядка.

  2. Пусть для матрицы найден характеристический многочлен pA(x) = -x3+x2+3x-1. По теореме Гамильтона-Кэли имеем E = 3A+A2-A3. Поскольку pA(0) = det A = -1 ¹ 0, обратная матрица A-1 существует. Умножая предыдущее равенство на A-1, получаем: A-1 = 3E+A-A2. Матрицу A2 находим непосредственно: A2 = . Отсюда получаем: A-1 = . Можно найти также степени A3, A4, и т.д. не перемножая матрицы. В самом деле, A3 = A2+3A-E = , A4 = A3+3A2-A = и т.д.

  3. Как вычислить ? Спектр матрицы имеет вид 1[2]. Пусть p1(x) = x100, p2(x) = 100x-99. Тогда p1(1) = p2(1), , то есть эти многочлены равны на спектре матрицы A. Значит, A100 = p1(A) = p2(A) = 100A-99E = .

Отметим, что в последнем примере p2(x) – интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для таблицы значений функции x100 на спектре матрицы.

Пусть теперь j: VC® VC – любой оператор, S - его спектр и f(z) – такая функция комплексного переменного z, которая определена на S, то есть в простых точках S существуют значения этой функции, а в точке спектра кратности k - еще и ее производные до порядка (k-1). Составим таблицу значений T функции f на спектре.

Определение.

Пусть функция f(z) определена на спектре S матрицы A и T – таблица ее значений на S. Построим по этим значениям интерполяционный многочлен p(z). Определим тогда значение функции от оператораj формулой: f(j) = p(j).

Замечание 1

Если имеются 2 интерполяционных многочлена p1 и p2, построенных по значениям одной функции f(z), то, поскольку p1(S) = p2(S), имеем p1(j) = p2(j), так что оператор f(j) определен однозначно.

Замечание 2.

Если VC конечномерно, e – базис этого пространства и A = Ae(j), то матрица f(A) определяется формулой f(A) = p(A), где p – многочлен, интерполирующий значения f(z) на спектре матрицы A. Очевидно, f(A) = Ae(f(j)). Поэтому f(S-1AS) = S-1f(A)S.

Примеры.

  1. Пусть , f(z) = . Спектр A имеет вид: 1, 4. Таблица значений функции на спектре имеет вид

z

1

4

f(z)

±1

±2

Двойные знаки во второй строке таблицы отражают тот факт, что f(z) – многозначная функция и потому для выбора в каждом столбце таблицы одного из ее двух значений необходимы дополнительные соглашения. Будем считать, что мы хотим найти значения всех 4 функций на матрице A. Соответствующие интерполяционные многочлены равны: p+,+ = 1/3(x+2); p+,- = -x+2; p-,+ = x-2; p-,- = -1/3(x+2). Соответственно получаем 4 значения корня из матрицы: . Проверка показывает, что квадрат любой из этих матриц равен A.

  1. Пусть V – пространство многочленов степени не выше n и D – оператор дифференцирования в этом пространстве. Построим оператор ehD, где hÎC некоторое число. Выберем базис e = (1,x, …,xn) пространства V. Поскольку Dxm = mxm-1, матрица оператора в этом базисе будет верхней треугольной с нулями на главной диагонали. Следовательно, все собственные значения оператора равны 0 и его спектр имеет вид 0[n+1]. Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра, построенный по значениям функции ehz на спектре, совпадает с многочленом Тейлора: p(z) = 1+hz+h2z2/2!+…=hnzn/n! Поэтому ehD = id+hD+…+hnDn/n! Если qÎV – любой многочлен, то ehDq(z) = = q(z+h). Итак, ehD – оператор сдвига на число h.

Замечание.

Если функция f(z) принимает действительные значения при zÎR, а оператор j переводит вещественные векторы в вещественные, то можно доказать, что таким же свойством будет обладать и оператор f(j). Аналогично, если A – матрица с вещественными элементами, то такой же будет и матрица f(A).

Теорема

Если между функциями f1(z), …fn(z) имеется алгебраическая зависимость U(f1,…fn) = 0, где U(x1,…, xn) – некоторый многочлен от n неизвестных, то такая же зависимость имеется между операторами f1(j),…, fn(j): U(f1(j),…, fn(j)) = 0.

Доказательство.

Отметим, прежде всего, что поскольку операторы f1(j),…, fn(j) коммутируют между собой, выражение U(f1(j),…, fn(j)) имеет смысл. (Иначе, например для U = x1x2 = x2x1, пришлось бы различать операторы f1(j)f2(j) и f2(j)f1(j)). Пусть p1(z),…, pn(z) – многочлены, интерполирующие значения функций f1(z),…, fn(z) на спектре S. Проверим, что многочлен p(z) = U(p1(z),…, pn(z)) равен 0 на спектре S. Если l - точка спектра кратности k, то надо проверить, что значения функции p, а также ее производных до порядка (k-1) включительно в этой точке равны 0. Как известно, производная порядка p от сложной функции U(g1(z),…, gn(z)) представляет собой многочлен от частных производных внешней функции и производных внутренних функций, причем s£p. Поскольку для функций f(z) = U(f1(z),…, fn(z)) º 0 и p(z) внешние функции совпадают, а внутренние имеют одинаковые производные до порядка (k-1) по определению интерполяционного многочлена, мы видим, что действительно p(S) = f(S) = 0. Следовательно, по определению, f(j) = p(j) = 0, что и требовалось.

Примеры.

  1. Доказанная теорема объясняет, почему в примере 1 предыдущего раздела мы действительно построили корни из матрицы. Вот еще один аналогичный пример. Пусть требуется найти решение матричного уравнения 2X3+3X = A, где . Рассмотрим алгебраическое уравнение 2x3+3x = t. Пусть x(t) – один из его корней. Поскольку 2x3(t)+3x(t)-t º 0, (1) доказанная теорема позволяет утверждать, что функция x(A) будет одним из решений исходного матричного уравнения. Чтобы найти эту матрицу надо составить таблицу значений x(t) на спектре A. Легко проверить, что спектр A имеет вид 5[2]. Следовательно, нам надо найти x(5) и . Уравнение 2x3+3x = 5 имеет действительный корень x1 = 1 и два комплексных корня: x2,3 = 0,5(-1±3I). Положим x(5) = 1. Чтобы найти производную продифференцируем соотношение (1): . Отсюда = 1/9. По этим значениям построим интерполяционный многочлен L1(t) = 1/9(t+4). Следовательно, x(A) = L1(A) = 1/9. Аналогично, по значениям x2,3 можно построить еще 2 комплексных решения того же уравнения: и .

  2. Соотношения e(p+q)z = epzeqz и sin2z+cos2z = 1 приводят к соотношениям между соответствующими операторами или матрицами: e(p+q)A = epAeqA и sin2A+cos2A = E. В то же время соотношение eA+B = eAeB может и не выполняться для произвольных матриц A и B, поскольку тождество ex+y = exey нельзя записать в виде соотношения U(f1(z), f2(z)) = 0.

Соседние файлы в папке Лекции по АиГ