Лекции по АиГ / Alg_18

Самосопряженные операторы в евклидовом пространстве.

Определение.

Линейный оператор j: V® V, действующий в евклидовом пространстве V называется самосопряженным, если "(x, yÎV) j(x)×y = x×j(y).

Примеры.

1. Пусть U подпространство V, имеющее ортогональное дополнение, и j = pr_U – оператор проектирования на подпространство U. Пусть u = pr_Ux, так что x = u+h, где hÎU^{^} и, аналогично, y = u^/+h^/. Тогда u×y = x×y = x×u^/ и потому оператор j самосопряжен.

2. Пусть T – пространство 2p периодических функций класса C^¥ с комплексными значениями и со скалярным произведением D: T® T – оператор дифференцирования: D(f) = f^/. Интегрируя по частям, получаем: =- . Ввиду периодичности внеинтегральный член равен 0 и мы находим: Df×g = -f×Dg. Отсюда вытекает, что оператор j = iD самосопряжен.

Матрица самосопряженного оператора.

Теорема.

Матрица A самосопряженного оператора в ортонормированном базисе является симметрической, то есть . Обратно, если в некотором ортонормированном базисе оператор имеет симметрическую матрицу, то он самосопряжен.

Доказательство.

Равенство j(x)×y = x×j(y), которое является определением самосопряженного оператора, достаточно проверить для базисных векторов e_1,…, e_n. Поскольку j(e_j)_e = c_j(A), имеем в ортонормированном базисе: j(e_j)×e_i = a_ij. С другой стороны, e_j×j(e_i) = = . Отсюда и вытекает утверждение теоремы.

Комплексификация вещественного оператора.

Пусть j - линейный оператор в вещественном евклидовом пространстве V размерности n. В ортонормированном базисе e этого пространства он задается вещественной симметрической матрицей A. Определим линейный оператор j_C, действующий в комплексном евклидовом пространстве Cⁿ по формуле j_Cz = Az. Таким образом, матрица этого оператора в стандартном (ортонормированном!) базисе Cⁿ также равна A. Отсюда следует, что характеристические многочлены операторов j и j_C совпадают. Кроме того, если оператор j самосопряжен, то его матрица A является симметрической и потому оператор j_C также будет самосопряженным. Оператор j_C называется комплексификацией исходного оператора j.

Свойства собственных векторов и собственных значений самосопряженного оператора.

Теорема.

1. Самосопряженный оператор j в конечномерном пространстве имеет вещественный спектр.

2. Собственные векторы самосопряженного оператора, относящиеся к разным собственным значениям ортогональны между собой.

3. Если для некоторого подпространства UÌV выполнено условие j(U)ÌU, то и j(U^{^})ÌU^{^}.

Доказательство.

1. Рассмотрим вначале случай, когда оператор j действует в комплексном евклидовом пространстве. В этом случае любая точка спектра является собственным значением оператора. Пусть l - одно из собственных значений и x – соответствующий собственный вектор. По определению самосопряженного оператора j(x)×x = x×j(x) = . Следовательно, j(x)×x – вещественное число. Но, j(x) = lx и потому число lx×x –вещественно. Так как x ¹ 0, то lÎR, что и требовалось. Если j действует в вещественном евклидовом пространстве, то рассмотрим его комплексификацию j_C, для которой утверждение 1 уже доказано. Поскольку спектры операторов j и j_C совпадают, утверждение 1 верно и в этом случае.

2. Пусть l ¹ m собственные значения оператора и x, y – соответствующие собственные векторы. Тогда j(x)×y = lx×y, а поскольку m вещественно, x×j(y) = mx×y. Следовательно, (l-m)x×y = 0 и потому векторы x и y ортогональны.

3. Пусть uÎU и hÎU^{^} - произвольные векторы. Поскольку j(u)ÎU, j(u)×h = 0. Ввиду самосопряженности оператора получаем: u×j(h) = 0. Следовательно, ×j(h)ÎU^{^}, что и требовалось доказать.

Примеры.

1. Пусть x - собственный вектор оператора j проектирования на подпространство UÌV. Если x = u+h, где uÎU, hÎU^{^}, то j(x) = u и j(x) = lx. Следовательно, u = l(u+h) и (1-l)u-lh = 0. Ввиду ортогональности оба слагаемых этой суммы нулевые. Отсюда вытекает, что, либо l = 0 и xÎU^{^}, либо l = 1 и xÎU. Следовательно, спектр оператора вещественен и собственные векторы, относящиеся к разным собственным значениям ортогональны.

2. В пространстве T из второго примера (см. выше) рассмотрим собственные векторы оператора iD. Если if^/(x) = lf(x), то f(x) = Ce^-ilx. Эта функция должна иметь период 2p, следовательно l - целое число. Итак, собственными векторами этого оператора служат функции e^-inx и соответствующие собственные значения равны n. Как это и утверждалось в теореме, собственные векторы, относящиеся к разным собственным значениям ортогональны, а спектр оператора лежит в области действительных чисел.

Диагонализация самосопряженного оператора.

Теорема.

Любой самосопряженный оператор в конечномерном пространстве приводится к вещественному диагональному виду в некотором ортонормированном базисе.

Доказательство.

Проведем индукцию по размерности n пространства. Если n = 1, то оператор имеет диагональный вид в любом базисе. Пусть для пространств размерности (n-1) теорема уже доказана и dimV = n. Возьмем любое число l, входящее в спектр оператора. Поскольку lÎR, это число является собственным значением j и ему отвечает некоторый собственный вектор x. Положим U = <x> и рассмотрим W = U^{^}. Так как j(U)ÌU, то согласно утверждению 3, j: W® W. Для самосопряженного оператора j_W по предположению индукции существует ортонормированный базис e из собственных векторов оператора. Положим f = (e, x/|x|). Этот базис пространства V, очевидно, ортонормирован и состоит из собственных векторов оператора j. Теорема доказана.

Линейные и квадратичные формы в конечномерном евклидовом пространстве.

Формой степени n в конечномерном векторном пространстве V_k называется отображение t: V_k® k, которое представляет собой однородную функцию степени n от координат вектора xÎV_k. Форма степени 1 называется линейной, а форма степени 2 – квадратичной. Таким образом, если в некотором базисе e = x_e, то линейная форма m имеет вид: m(x) = Sm_ix_i, а квадратичная форма q – вид:q(x) = Sq_ijx_ix_j. Для всякой линейной формы выполняются соотношения: m(x+y) = m(x)+m(y) и m(lx) = lm(x).

Примеры линейных и квадратичных форм в вещественном евклидовом пространстве.

1. Пусть rÎV_R – фиксированный вектор. Положим: m_r(x) = x×r. Если e – ортонормированный базис пространства V и r_e = , то m_r(x) = Sr_ix_i. Таким образом, m_r – линейная форма на V.

2. Пусть j: V® V – линейный оператор. Положим: q_j (x) = j(x)×x. Пусть A матрица оператора j в ортонормированном базисе e. Тогда j(x)×x = Sa_ijx_ix_j. Следовательно, q_j – квадратичная форма на пространстве V.

Теорема (об общем виде линейной и квадратичной форм в евклидовом пространстве).

1. Отображение r® m_r устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех векторов из V и множеством всех линейных форм на V.

   2. Отображение j® m_j устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех самосопряженных операторов на V и множеством всех квадратичных форм на V.

   Доказательство.

   1. Надо проверить, что для всякой линейной формы l на V существует и притом только один вектор v такой, что l = m_v. Выберем ортонормированный базис e пространства V и построим вектор v с координатами v_i = l(e_i). Тогда l(x) = l(Sx_ie_i) = Sx_il(e_i) = Sx_iv_i = x×v. Если для некоторого вектора w выполняется условие l(x) = x×w, то для всякого xÎV имеем x×(v-w) =0 и, следовательно, v = w.

   2. Надо проверить, что для всякой квадратичной формы s на V существует и притом только один самосопряженный оператор s: V® V такой, что s = q_s. Выберем ортонормированный базис e пространства V и построим квадратную матрицу A с элементами a_ij = Ѕ(s(e_i+e_j)-s(e_i)-s(e_j)). Этой матрице соответствует оператор s: V® V, для которого A_e(s) = A. Поскольку a_ij = a_ji и базис e ортонормирован, оператор s будет самосопряженным. Заметим теперь, что s(e_i) = s_ii, s(e_i+e_j) = s_ii+s_jj+s_ij+s_ji. Следовательно, a_ij = Ѕ(s_ij+s_ji). Ясно, что квадратичные формы Sa_ijx_ix_j и Ss_ijx_ix_j совпадают и потому s = q_s. Если для двух самосопряженных операторов s и q и для всякого вектора xÎV выполнено условие s(x)×x = q(x)×x, то для самосопряженного оператора a = s-q имеем: a(x)×x = 0. Выберем ортонормированный базис f из собственных векторов оператора a. Тогда a(f_i)×f_i = l_i(f_i×f_i) = 0, откуда следует, что l_i = 0 и, значит, оператор a нулевой. Теорема доказана.

Приведение квадратичной формы к сумме квадратов.

Теорема.

Для всякой квадратичной формы q в евклидовом пространстве можно построить такой ортонормированный базис e, в котором эта форма имеет вид q(x) = Sl_ix_i²

Доказательство.

Запишем q в виде: q(x) = j(x)×x, где j: V® V – самосопряженный линейный оператор. Выберем ортонормированный базис e, в котором A_e(j) = diag(l₁, …, l_n). Тогда q(x) = = Sl_ix_i², что и требовалось.