Лекции по АиГ / Alg_16

Евклидовы пространства.

(продолжение).

Примеры ортогональных систем векторов.

1. В пространстве непрерывных на отрезке [-p;p] функций с комплексными значениями рассмотрим систему T_C = (1, e^Ix, e^-Ix, …, e^Inx, e^-Inx). Поскольку , мы видим, что система T_C ортогональна. Если положить f_n = (2p)^-0,5e^Inx, то мы придем к ортонормированной системе. Она называется комплексной тригонометрической системой. Если отделить действительную и мнимую часть, то получится ортогональная вещественная тригонометрическая система T_R = (1, cosx, sinx,…, cosnx, sinnx).

2. Если в пространстве C[-1;1] рассмотреть систему S = (1, x, x²,…, xⁿ) и применить к ней процесс ортогонализации, то мы придем к системе L многочленов Лежандра. Легко находим: L₀ = 1, L₁ = x, L₂ = x²-1/3, L₃ = x³-3/5x, L₄ = x⁴-6/7x²+3/35 и т.д. Можно проверить, что .

3. Квадратная матрица порядка n с элементами ±1, столбцы которой составляют ортогональный базис координатного пространства Rⁿ, называется матрицей Адамара. Построим такую матрицу, считая, что n является степенью числа 2. Для n =2 положим . Если для n = 2^k-1 такая матрица A уже построена, то для n = 2^k возьмем . Например, для n = 4 . Свойство ортогональности столбцов очевидно выполнено. Для всякой матрицы Адамара порядка n, H^tH = G(c₁(H), …,.c_n(H)) = diag(n, …, n). Отсюда следует, что detH = ±n^n/2 Можно доказать, что для матриц, построенных выше, в этой формуле надо взять знак плюс. Матрицы Адамара появляются, например, в следующей теореме. Пусть A – квадратная матрица порядка n, все элементы которой по модулю не превосходят некоторого положительного числа a. Тогда |detA| £ aⁿn^n/2. Равенство в этом неравенстве имеет место тогда и только тогда, когда A = aH, где H – матрица Адамара. Порядок матрицы Адамара не может быть любым. Легко доказать, что n должно делиться на 4 или равняться 2. Является ли это условие достаточным для существования матрицы Адамара, неизвестно до сих пор.

Скалярное произведение и координаты вектора в ортонормированном базисе.

Допустим, что e = (e₁,…, e_n) – ортонормированный базис евклидова пространства V. Тогда, очевидно, G(e) = E_n и потому x×y = . В частности, |x|² = . Таким образом, в ортонормированном базисе скалярное произведение имеет стандартный вид. Умножая равенство x = Sx_ie_i скалярно на вектор e_j, получаем: x×e_j = x_j(e_j×e_j) = x_j. Следовательно, координаты вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие базисные векторы.

Изометрический изоморфизм евклидовых пространств.

Теорема.

Пусть U и V конечномерные евклидовы пространства над одним и тем же полем k. Если dimU = dimV, то существует такой изоморфизм j: U«V, который сохраняет скалярное произведение (изометрический изоморфизм), то есть .

Доказательство.

Выберем в пространствах U и V ортонормированные базисы e и f . Поскольку размерности пространств равны между собой, эти базисы состоят из одинакового числа векторов. Положим: j(U) = fu_e. Тогда j: U® V. Это отображение будет изоморфизмом так как j(e) = f. Учитывая, что вследствие ортонормированности, G(e) = G(f) = E, имеем: j(u₁)×j(u₂) = (fu_1e)×(fu_2e) = = = u₁×u₂, что и требовалось.

Теорема Пифагора, неравенство Бесселя и равенство Парсеваля.

Теорема (Пифагор).

Если x = y+z, причем y^z, то |x|² = |y|²+|z|².

Доказательство.

|x|² = x×x = (y+z)×(y+z) = y×y+z×z = |y|²+|z|², так как y×z = z×y = 0.

Теорема (неравенство Бесселя).

Пусть P = (p₁,…, p_n) – ортонормированная система в евклидовом пространстве V. Тогда для любого xÎV имеем: |x|²£ |x×p₁|²+…+|x×p_n|², причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда .

Доказательство.

Положим y = (x×p₁)p₁+…+(x×p_n)p_n, так что |y|² = S|x×p_i|². Тогда y×p_i = x×p_i для всех i. Следовательно, вектор z = x-y ортогонален всем векторам системы P, а потому и их линейной комбинации – вектору y. Итак, x = y+z, где y^z. По теореме Пифагора |x|² = |y|²+|z|², откуда |x|² = |x×p₁|²+…+|x×p_n|²+|z|², что и доказывает неравенство Бесселя. Равенство имеет место в точности тогда, когда z = 0, то есть x = y.

Следствие (равенство Парсеваля).

В условиях предыдущей теоремы утверждение "(xÎV): |x|² = S|x×p_i|² имеет место тогда и только тогда, когда система P является базисом V.

В самом деле, если "(xÎV) xÎ<P>, то система P является порождающей, что и надо было установить.

Ортогональность вектора и подпространства; ортогональные суммы.

Определение.

Пусть U - подпространство евклидова пространства V. Говорят, что вектор xÎV ортогонален подпространству U, если "(uÎU) x ^ u. В этом случае пишут x ^ U. Два подпространства U₁, U₂ называются ортогональными (U₁ ^ U₂), если "(u₁ÎU₁), ("u₂ÎU₂) u₁ ^ u₂.

Теорема (условия ортогональности).

Пусть P = {p₁,…, p_m} – порождающая система в конечномерном подпространстве U. Тогда вектор x ^ U тогда и только тогда, когда он ортогонален всем векторам системы P.

Если P⁽¹⁾ и P⁽²⁾ – порождающие системы подпространств U₁ и U₂, то U₁ ^ U₂ тогда и только тогда, когда каждый вектор системы P⁽¹⁾ ортогонален любому вектору системы P⁽²⁾.

Доказательство.

Всякий вектор uÎU можно записать в виде линейной комбинации векторов системы P. Следовательно, если "j x ^ p_j, то x ^ u. Обратно, если x ^ U,то в частности "j x ^ p_j, что и утверждалось. Второе утверждение доказывается аналогично.

Определение.

Пусть U_i – подпространства евклидова пространства V и V = U₁+…+U_n. Говорят, что эта сумма ортогональная, если "(i ¹ j) U_i ^ U_j. В этом случае применяется запись: .

Теорема.

Если , то каждый вектор vÎV однозначно представляется в виде v = u₁+…+u_n, где u_kÎU_k.

Доказательство.

Если , то , причем слагаемые этой суммы попарно ортогональны. Следовательно, по теореме Пифагора 0 = , откуда вытекает, что .

Ортогональное дополнение.

Подпространство U^/ евклидова пространства V называется ортогональным дополнением подпространства UÌV, если .

Теорема (единственность ортогонального дополнения).

Если ортогональное дополнение существует, то оно определено однозначно.

Доказательство.

Допустим, что . Возьмем любой вектор yÎU^/ÌV. В соответствии со вторым способом разложением, y = z+t, где zÎU, tÎU^//. Поскольку z ^ t, имеем по теореме Пифагора: |y|² = |z|²+|t|². Но, так как zÎU, yÎU^/ z ^ y. Применяя теорему Пифагора к равенству t = y+(-z), получаем: |t|² = |y|²+|z|². Из полученных равенств вытекает, что z = 0 и потому y = tÎU^//. Итак, доказано, что U^/ÌU^//. Обратное включение устанавливается тем же способом.

Замечание.

Однозначно определенное ортогональне дополнение к подпространству U обозначается U^{^}. Поскольку V = , имеем: (U^{^})^{^} = U.

Теорема(существование ортогонального дополнения).

Если U₁ – конечномерное подпространство V, то ортогональное дополнение существует.

Доказательство.

Положим: U₂ = {xÎV: x ^ U₁}, так что U₂ ^ U₁. Проверим, что V = U₁+U₂, откуда и будет следовать наше утверждение. Выберем в конечномерном подпространстве U₁ ортонормированный базис e и для любого вектора yÎV положим: y₁ = S(y×e_i)e_i. Тогда для любого i y×e_i = y₁×e_i и потому вектор y₂ = y-y₁ ортогонален базисным векторам, а, следовательно, и подпространству U₁. Таким образом, y = y₁+y₂, где y₁ÎU₁, y₂ÎU₂ и потому V = U₁+U₂.

Примеры.

1. В пространстве геометрических векторов ортогональным дополнением к подпространству векторов, параллельных координатной плоскости XOY, служит множество векторов, параллельных оси OZ.

2. Пусть U⁺, U^-ÌC[-a;a] – подпространства соответственно четных (f(-x) = f(x)) и нечетных (f(-x) = -f(x)) непрерывеых функций с комплексными значениями. Тождество f(x) = 0,5(f(x)+f(-x))+ 0,5(f(x)-f(-x)) показывает, что C[-a;a] = U⁺+U^-. С другой стороны, произведение функций разной четности есть нечетная функция, имеющая, следовательно, нулевой интеграл по симметричному отрезку. Отсюда вытекает, что в евклидовом пространстве C[-a;a] со скалярным произведением , имеет место формула: (U⁺)^{^} = U^-.

3. Пространство многочленов R[x], рассматриваемое как подпространство пространства непрерывных функций C[a;b] с вещественными значениями не имеет ортогонального дополнения. В самом деле, пусть fÎC[a;b] такая функция, что для любого многочлена p . Согласно известной из анализа теореме Вейерштрасса, для всякого числа e>0 можно найти такой многочлен p, что |f(x)-p(x)|<e на всем отрезке. Кроме того, непрерывная на отрезке функция f ограничена: |f(x)|£K. Имеем: 0 = , где |I|£Ke(b-a). Отсюда вытекает, что |f| скольугодно мало и потому f(x) = 0.