§Пр.4.5. Тензоры в ортонормированном базисе
Совпадение ковариантных и контравариантных индексов в ортонормированном базисах евклидова пространства позволяет ввести в рассмотрение упрощенный класс тензоров, определенных только в таких базисах и называемых евклидовыми тензорами.
Два евклидовых тензора считаются одинаковыми, если один из них может быть преобразован во второй операциями опускания или поднятия индексов. Поэтому можно в дальнейшем рассматривать евклидовы тензоры, как имеющие лишь нижние индексы. При этом, правда, придется допустить суммирование по паре совпадающих ковариантных индексов.
При
помощи евклидовых тензоров удобно
продемонстрировать связь методов
тензорного исчисления и аппарата
векторной алгебры в обычном трехмерном
векторном пространстве
.
Введем
предварительно в рассмотрение
трехвалентный дискриминантный
тензор
,
определяемый во всех ортонормированных
базисах по правилу:
, если среди чисел
нет равных,
,
в остальных случаях.
Здесь
,
как и раньше, обозначает число беспорядков
в перестановке чисел
(см. §6.1.).
Всего
у тензора
,
антисимметричного по любой паре индексов,
27 компонентов, из которых только шесть
ненулевых: три равные 1 и три равные
(-1).
Убедимся
вначале, что объект
преобразуется при переходе от одного
ортонормированного базиса в
к другому как трижды ковариантный
тензор. Запишем выражения для компонентов
в новом базисе в явном виде
что, в свою очередь, по свойствам определителя, дает
,
если среди чисел l,m,n
нет равных,
,
в остальных случаях,
поскольку
матрица
ортогональная (как матрица перехода от
одного ортонормированного базиса к
другому) и ее определитель равен 1.
Поскольку
объект
в новом произвольном ортонормированном
базисе имеет (при использованных правилах
преобразования) те же компоненты, что
и в исходном, то мы приходим к заключению,
что это трехвалентный евклидов тензор.
Тензоры и произведения векторов
Покажем
теперь связь тензорного произведения
элементов пространства
и произведений векторов, введенных в
данном пособии (см. §2.2. и §2.4.). Все базисы
по-прежнему ортонормированные.
Рассмотрим
два одновалентных ковариантных тензора
и
,
которые в аналитической геометрии (что
было показано ранее) интерпретируются
как обычные геометрические векторы
и
.
Их тензорное произведение
есть дважды ковариантный евклидов
тензор, имеющий 9 компонентов, записываемых
обычно в виде матрицы следующего вида:
.
Согласно правилам сложения тензоров и умножения их на число, данный тензор можно представить как сумму симметричного и антисимметричного тензоров:
или в матричном виде
Рассмотрим теперь каждое слагаемое по отдельности.
Во-первых, отметим, что из симметричности матричного представления для первого слагаемого следует существование ортонормированного базиса, в котором эта матрица диагональна.
Теперь покажем, что свертка этого слагаемого есть инвариант, то есть она не зависит от выбора базиса.
Действительно,
учитывая, что
и
суть одновалентные ковариантные тензоры,
и используя свойства матрицы перехода
,
получим следующее правило преобразования
их свертки:
,
что и означает инвариантность этой свертки относительно замены базиса.
Отсюда
следует важный вывод: любой паре элементов
(векторов)
и
,
имеющих соответственно компоненты
и
в
,
можно поставить в соответствие не
зависящее от выбора ортонормированного
базиса число
.
(См. также §2.9.).
Выясним
геометрический смысл этого инварианта,
обозначаемого
.
Каковы бы ни были векторы
и
,
всегда найдется ортонормированный
базис, в котором их координатные
представления соответственно имеют
вид
и
,
где
- угол между
и
.
Тогда значение инварианта равно
и мы приходим к формуле скалярного
произведения векторов,
которая обычно принимается за его
определение.
Рассмотрим теперь второе слагаемое.
Как
нетрудно видеть, матрица
имеет только три независимых компонента,
из чего следует, что паре векторов
и
в
может быть поставлен в соответствие
третий вектор, обозначаемый как
,
с компонентами
.
Выясним
его свойства. Во-первых, заметим, что
число независимых компонентов у
кососимметричной части тензорного
произведения элементов в случае
размерности пространства n
равно
,
поскольку это есть число компонентов,
стоящих в матрице над ее главной
диагональю. Отсюда следует, что только
в
это число совпадает с размерностью
пространства и только
в
произведению двух элементов можно
подобным образом ставить в соответствие
третий элемент.
Во-вторых,
убедимся, что имеют место соотношения
.
Действительно, например, для i=1:
В-третьих,
покажем инвариантность тензора
при переходе от одного ортонормированного
базиса к другому в
.
Пусть это соотношение в новом
ортонормированном базисе
,
тогда в исходном базисе будут справедливы
равенства
.
Умножив
обе части последнего равенства на тензор
и свернув произведения по индексу i,
получим
,
но
,
а
,
поскольку тензор
инвариантен при переходе от одного
ортонормированного базиса к другому.
Следовательно,
,
что и означает инвариантность этого
элемента относительно замены базиса.
Выясним,
наконец, геометрический смысл вектора
.
Заметим, что для любых векторов
и
можно выбрать ортонормированный базис
в
,
в котором их координатные представления
имеют вид соответственно
и
,
где
- угол между
и
.
Тогда
значение первого компонента
есть
,
в то время как остальные компоненты
нулевые, и получилась формула векторного
произведения,
принимаемая обычно за его определение.
Таким образом, можно заключить, что введенные в курсе векторной алгебры операции скалярного и векторного произведений базируются не только на “их полезности для приложений”, но и отражают инвариантные свойства тензорного произведения элементов евклидова пространства при переходах между ортонормированными базисами.
В заключение покажем, что тензорная символика может быть эффективно использована и для более сложных конструкций векторной алгебры. Например:
1. Смешанное произведение трех векторов (см. §2.6.) представимо в виде:
.
2. Выражение для двойного векторного произведения трех векторов (см. §2.8.) может быть получено следующим образом:
.
Принимая
во внимание достаточно легко проверяемую
формулу
,
приходим к равенству
или, окончательно,
.