§Пр.4.4. Тензоры в евклидовом пространстве

В случае евклидова пространства тензоры обладают дополнительными специфическими свойствами, обусловленными тем фактом, что скалярное произведение есть билинейный функционал, а потому является дважды ковариантным тензором, компоненты которого в любом базисе совпадают с компонентами матрицы Грама. Этот ковариантный тензор иногда называют фундаментальным метрическим тензором.

Поясним эти свойства следующим примером. Пусть дан базис в Eⁿ и его некоторый элемент x, являющийся одновалентным, один раз контравариантным тензором . Свернем фундаментальный метрический тензор с тензором , получим

.

Данное равенство означает, что элемент x однозначно характеризуется в каждом базисе также и компонентами один раз ковариантного тензора . Числа называются ковариантными компонентами элемента x в базисе , и они однозначно определяются обычными контравариантными компонентами элемента x в силу невырожденности матрицы Грама из системы уравнений

.

Таким образом, в евклидовом пространстве исчезает принципиальная разница между ковариантными и контравариантными индексами тензоров. Более того, в ортонормированном базисе ковариантные и контравариантные компоненты элемента x совпадают (см. теорему 10.3.2.).

Операция опускания индекса

Определение Пр.4.4.1.

Пусть в задан тензор типа , где . Тензор типа называется результатом операции опускания контравариантного индекса у тензора , если в каждом базисе имеет место равенство .

Заметим, что использование точек для указания порядка следования индексов в этой операции оказывается необходимым, чтобы сделать ее однозначной. Иначе непонятно, куда следует опустить индекс.

Операция поднятия индекса

Определение Пр.4.4.2.

Дважды контравариантный тензор, компоненты которого в любом базисе евклидова пространства совпадают с матрицей, обратной матрице Грама, называется контравариантным метрическим тензором.

Убедимся вначале, что матрица, обратная матрице Грама, задает в каждом базисе тензор типа . Имеем . Исходя из этого соотношения, получаем следующее правило преобразования обратной матрицы Грама при замене базиса:

,

поскольку из следует, что для невырожденной матрицы справедливо равенство . А это и означает, что обратная матрица Грама определяет во всех базисах дважды контравариантный тензор .

По аналогии с операцией опускания индекса дадим

Определение Пр.4.4.3.

Пусть в дан тензор типа , где . Тензор типа называется результатом поднятия ковариантного индекса у тензора , если в каждом базисе имеет место равенство .

Задача Пр.4.4.1.

В с фундаментальным метрическим тензором тензор задан матрицей . Найти матрицы тензоров и .

Решение

1. Для опускания первого индекса воспользуемся формулой . Получаем Следовательно, матрица тензора имеет вид . 2. Для поднятия второго индекса следует применить формулу , где - контравариантный метрический тензор, матрица которого обратна матрице тензора и имеет вид . Поэтому

Таким образом, тензор имеет матрицу .

В ортонормированном базисе очевидно, что , то есть между ковариантными и контравариантными индексами нет никакой разницы, что также следует из равенства , верного в ортонормированном базисе, и определения тензоров.