§Пр.4.3. Операции с тензорами
Вводимые ниже операции с тензорами во всех случаях требуют обоснования того, что результатом каждой из них является также тензор. В рамках данного курса эти утверждения предлагаются в качестве упражнений.
Сложение тензоров
|
Определение Пр.4.3.1. |
Пусть
даны два тензора типа
|
и
.
Тензор типа
называется суммой
тензоров
и
,
если в каждом базисе имеет место
равенство
.
|
Пример 4.3.1. |
Сумма
двух линейных операторов
|
и
,
являющихся тензором типа (1,1), есть
также линейный оператор и, следовательно,
тензор типа (1,1)
,
для компонентов которого справедливы
соотношения
.
Умножение тензоров на число
|
Определение Пр.4.3.2. |
Пусть
дан тензор типа
|
и число .
Тензор типа
называется произведением
тензора
на ,
если в каждом базисе имеет место
равенство
.
|
Замечание: |
нетрудно
показать, что множество тензоров типа
|
с операциями сложения и умножения на
число является линейным пространством
размерности
.
Тензорное произведение
|
Определение Пр.4.3.3. |
Пусть
даны два тензора типа
Иногда тензорное произведение обозначают символом . |
и типа
.
Тензор типа
называется произведением
тензоров
и
,
если в каждом базисе имеет место
равенство
=
.
|
Пример Пр.4.3.2. |
Мы
видели, что элементы линейного
пространства
|
являются один раз контравариантными
тензорами. Найдем их произведение по
определению Пр.4.3.3. Получаем, что
есть дважды контравариантный тензор.
|
|
Заметим,
|
.
Дело в том, что хотя и
,
но упорядочивание компонентов этих
тензоров выполняется по-разному.
Следовательно, тензорное произведение
некоммутативно.
|
Задача Пр.4.3.1. |
Определить
тип и матрицу тензора
|
,
если a
-
тензор типа
с матрицей
,
и b
-
тензор типа
с матрицей
.
|
Решение |
По
определению тензорного произведения,
c
есть тензор типа
Таким образом матрица тензора c имеет вид:
|
с матрицей, составленной с учетом
соглашения о порядке индексов из
поэлементных произведений вида
,
где
и
- компоненты тензоров a
и b
соответственно.
.
Свертывание тензоров
|
Определение Пр.4.3.4. |
Пусть
дан тензор типа
|
,
причем
и
.
Выберем один верхний (например,
)
и один нижний (например,
)
индексы и в записи тензора заменим их
обозначения одним и тем же символом
(например, m).
Тензор типа
называется сверткой
тензора
по индексам
и
,
если в каждом базисе имеет место
равенство
=
.
Заметим,
что в последнем равенстве правая часть
- это сумма n
слагаемых, где m
- индекс, по которому выполняется
суммирование, а само данное тензорное
равенство равносильно
скалярным равенствам.
|
Пример Пр.4.3.3. |
Свертка
тензора типа
|
,
являющегося линейным оператором
,
есть тензор типа
,
то есть инвариант относительно замены
базиса, имеющий единственный компонент,
равный
.
Данное выражение есть сумма диагональных
элементов матрицы линейного оператора,
которая не меняется при замене базиса.
Заметим, что данным свойством не
обладает, например, матрица билинейного
функционала.
Операция
свертки часто комбинируется с операцией
умножения тензоров. Например, результатом
произведения один раз ковариантного
тензора на один раз контравариантный
с последующей сверткой является
инвариант, представляющий значение
линейного функционала в
.
Действительно,
.
В этом случае говорят, что тензор
свертывается
с тензором
.
|
Задача Пр.4.3.2. |
Даны тензоры:
a
-
типа
b
-
типа
c
-
типа
Найти
свертки
|
с элементами
и матрицей
;
с элементами
и матрицей
;
с элементами
и матрицей
.
и
.
|
Решение |
1.
По определению операции свертывания,
2.
Аналогично
|
- тензор типа
с компонентами
.
Поэтому
- тензор типа
с компонентами
.
Тогда
Транспонирование тензоров
Как уже отмечалось ранее, перестановка местами любой пары ковариантных (или пары контравариантных) индексов у тензора, то есть транспонирования тензора, вообще говоря, приводит к его изменению, поскольку в определении тензора говорится об упорядоченной системе индексов. При этом новый тензор будет того же типа, что и исходный.
В общем случае для группы, состоящей из N верхних (или нижних) индексов, существует N! различных способов перестановок. Это означает, что, переставляя данные индексы, можно построить N! новых тензоров.
|
Задача Пр.4.3.3. |
Тензор
|
задан матрицей
.
Найти матрицу транспонированного
тензора.
|
Решение |
Данный
тензор можно транспонировать по паре
контравариантных индексов i
и j.
После перестановки соответствующих
элементов получаем тензор с матрицей
|
.
Симметрирование и альтернирование тензоров
|
Определение Пр.4.3.5. |
Тензор называется симметричным относительно группы (верхих или нижних) индексов, если он не меняется при перестановке любых двух индексов, принадлежащих данной группе. |
|
Определение Пр.4.3.6. |
Тензор называется антисимметричным (или кососимметричным) относительно группы индексов, если он меняет, в смысле указанного выше определения равенства тензоров, свой знак на противоположный при перестановке любых двух индексов, принадлежащих данной группе. |
Выделим у тензора группу, состоящую из N индексов (либо верхних, либо нижних), построим путем перестановок индексов данной группы N! всевозможных новых тензоров и возьмем их среднее арифметическое. В результате мы получим тензор, симметричный по выбранной группе индексов.
Данная операция называется симметрированием тензора по группе индексов. Группа индексов, по которой выполняется симметрирование тензора, выделяется круглыми скобками.
|
Пример Пр.4.3.4. |
N=1 |
|
|
|
N=2 |
|
|
|
N=3 |
|
|
|
... |
... |
Операция симметрирования часто комбинируется с умножением, причем имеет место следующий порядок действий: сначала умножение, а потом симметрирование.
|
Пример Пр.4.3.5. |
|
.
Выделим
у тензора группу, состоящую из N
индексов (либо верхних, либо нижних),
построим путем перестановок индексов
данной группы N!
всевозможных новых тензоров, приписав
каждому из них знак
,
где
- число беспорядков в перестановке чисел
,
и возьмем их среднее арифметическое. В
результате мы получим тензор,
антисимметричный по выбранной группе
индексов.
Данная операция называется альтернированием тензора по группе индексов. Группа индексов, по которой выполняется альтернирование тензора, выделяется квадратными скобками.
|
Пример Пр.4.3.6.
|
N=1 |
|
|
|
N=2 |
|
|
|
N=3 |
|
|
|
... |
... |
Операция альтернирования часто комбинируется с умножением, причем имеет место следующий порядок действий: сначала умножение, а потом альтернирование.
|
Пример Пр.4.3.7. |
|
.
Заметим, что как симметрирование кососимметричного тензора, так и альтернирование симметричного дает нулевой тензор.
|
Задача Пр.4.3.4. |
Тензор
|
задан матрицей
.
Найти матрицы тензоров
,
и
.
|
Решение |
1.
Тензор
Тензор
2.
Тогда тензор
тензор
|
,
транспонированный к данному по паре
индексов i
и j
, имеет матрицу
(См. задачу Пр.4.3.3.)
,
транспонированный к данному по паре
индексов j
и k
, будет иметь матрицу
,
в которой элементы первых столбцов
блочных матриц исходного тензора
записаны в первой блочной строке, а
элементы вторых столбцов блочных
матриц исходного тензора записаны во
второй блочной строке.
имеет матрицу
,
- матрицу
,
|
|
а
тензор
|
- матрицу
.