§5.6. Понятие группы

Определение

5.6.1.

Множество G называется группой по отношению к заданной операции, если любым двум его элементам иоставлен в соответствие третий элемент этого же множества, называемыйпроизведением и обозначаемый , и если выполняются следующие условия:

1. ;

2. существует элемент e такой, что для любого ;

3. для каждого x существует элемент такой, что.

Пример

5.6.1.

К группам относятся, например, следующие множества:

1) Множество вещественных чисел относительно операции сложения образует группу, где e - число 0.

2) Множество положительных вещественных чисел образует группу относительно операции умножения, где e - число 1.

3) Множество поворотов плоскости вокруг фиксированной точки образует группу относительно операции композиции.

4) Множество аффинных преобразований плоскости образует группу относительно операции композиции.