§5.3. Линейные операторы на плоскости

Определение

5.3.1.

Оператор называетсялинейным оператором, если в каждой декартовой системе координат он задается формулами.

Определение

5.3.2.

Оператор называетсялинейным однородным оператором, если он удовлетворяет определению 5.3.1. и, кроме того, .

Если же , то операторназываетсянеоднородным.

Пример

5.3.1.

К линейным однородным операторам относятся:

- оператор , действие которого сводится к умножению координат радиус-вектора прообраза на фиксированные действительные числа. Этот оператор называется “оператором сжатия к осям” или, просто, “сжатием к осям” и имеет в ортонормированном базисе матрицу , где положительные числа₁ и ₂ - коэффициенты сжатия;

- оператор ортогонального проектирования радиус-векторов точек плоскости на некоторую заданную ось, проходящую через начало координат.

Теорема

5.3.1.

Для линейного однородного оператора справедливы соотношения:

1.

2.

Доказательство:

В справедливости утверждения теоремы убедимся непосредственной проверкой, используя правила действия с матрицами. Например, для 1º имеем

Теорема доказана.

Теорема

5.3.2.

Если для некоторого оператора справедливы соотношения

1.

2. ,

то этот оператор линейный и однородный.

Доказательство:

Пусть и- соответственно координатные разложения для прообраза и образа, тогда

.

Вводя обозначения и, получаем

.

И, окончательно, , или.

Теорема доказана.

Следствие

5.3.1.

Столбцами матрицы линейного однородного оператора в базисе являются координатные представления векторов и .

Следствие

5.3.2.

Каждому линейному однородному оператору преобразования плоскости в конкретном базисе соответствует квадратная матрица второго порядка, а каждая квадратная матрица второго порядка задает в этом базисе некоторый линейный однородный оператор.

Задача

5.3.1.

Исходя из правил действия с матрицами, показать, что для линейных однородных операторов на плоскости справедливы утверждения:

1. Матрица произведения линейных однородных операторов равна произведению матриц сомножителей: .

2. Если есть оператор, обратный линейному однородному оператору, то .

Теорема

5.3.3.

Пусть в системе координат некоторый однородный линейный оператор имеет матрицу . Тогда в системе координат этот оператор будет иметь матрицу , где- матрица перехода от к .

Доказательство:

Пусть в исходной системе координат действие задается формулой , а в новой системе координат -, и пусть - матрица перехода от кс формулами переходаи.

Подставляя два последних соотношения в первое и принимая во внимание утверждение теоремы 1.8.2. о невырожденности матрицы перехода (то есть, существование матрицы ), получаем, что

или .

Наконец, вычитая последнее равенство почленно из равенства , в силу произвольности(согласно лемме 5.1.2.) приходим к соотношению.

Теорема доказана.

Следствие

5.3.3.

Величина не зависит от выбора базиса.

Доказательство:

Поскольку определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей, то, в силу теоремы 5.3.3. и невырожденности матрицы перехода , имеем

Следствие доказано.

Задача

5.3.2.

В ортонормированной системе координат найти матрицу оператора, ортогонально проектирующего радиус-векторы точек координатной плоскости на прямую .

Решение:

Пусть точка-прообраз M имеет радиус-вектор , а точка- образ точкиM, соответственно ее радиус-вектор .

Из рис. 5.3.1. следует, что есть точка пересечения прямой и перпендикуляра к ней, проходящего через M.

y

O

x

M

Рисунок 5.3.1.

Поскольку нормальный вектор прямой является направляющим вектором этого перпендикуляра, то уравнение последнего будет иметь вид . Откуда следует, что координаты радиус-вектора точкибудут удовлетворять системе уравнений

или .

Используя правила операций с матрицами, получаем окончательно, что

, то есть .