Раздел 5

Определение

5.1.1.

Матрица размераmxn (с элементами ) называетсяпроизведением матрицы размераmxl (с элементами ) на матрицуразмераlxn (с элементами ), где

Пример

5.1.1.

Приведем результаты произведения матриц, имеющих не более чем пару строк или столбцов.

1. Пусть размер есть 2x2, а размер - 2x1, тогда размер будет 2x1

.

2. Если размер есть 2x2, а размер - 1x2, то размер будет 1x2

3. Наконец, пусть размер иесть 2x2, тогда матрица будет иметь размер 2x2

Определение

5.1.2.

Матрица называетсяобратной квадратной матрице , если выполнены равенства.

Определение

5.1.3.

Матрица , для которой, называетсявырожденной, а матрица, для которой -невырожденной.

Лемма

5.1.1.

Если обратная матрица существует, то она единственна.

Доказательство:

Предположим, что невырожденная матрица имеет две обратные:и. Тогда из равенствиследует,

.

Умножая слева обе части данного равенства на , получаемили, учтя, что, приходим к.

Лемма доказана.

Пример

5.1.2.

Используя матричные операции, систему линейных уравнений

можно записать в виде , где

,

а ее решение (если существует ), - в виде.

Пример

5.1.3.

Формулы перехода от одной декартовой системы координат к другой (1.8.2.) с помощью матричных операций могут быть записаны в виде

,

где - матрица перехода.

Теорема

5.1.1.

Имеет место соотношение .

Доказательство:

Будем предполагать, что размеры матриц и таковы, что произведения матриц, указанные в формулировке теоремы, существуют.

Пусть числа суть элементы матриц , и соответственно. Тогда, согласно определению 5.1.1.,

.

Но, с другой стороны, по определению операции транспонирования 1.1.8.,

,

откуда, учитывая определение 5.1.1., делаем заключение о справедливости утверждения теоремы.

Теорема доказана.

Лемма

5.1.2.

Пусть произведение квадратной матрицы на произвольныйn-компонентный столбец есть нулевойn-компонентный столбец, тогда матрица нулевая.

Доказательство:

Пусть . Выберем в качестве столбец вида , где единица стоит в строке с номеромi . Тогда и, в силу произвольностиi , приходим к заключению о справедливости утверждения леммы.

Лемма доказана.

Теорема

5.1.2.

Для невырожденных, одинакового размера квадратных матриц исправедливо соотношение.

Доказательство:

1. Пусть произведение матрицы на некоторый n-компонентный столбец есть столбец . Тогда или, что, то же самое, (см. определения 5.1.1. и 5.1.2.).

2. С другой стороны, из последнего равенства получаем, что и, аналогично, .

3. Вычитая почленно равенства и , приходим, в силу дистрибутивности матричного произведения, к соотношению , которое, по лемме 5.1.2., в виду произвольности столбца , означает, что матрица нулевая.

Теорема доказана.

Задача

5.1.1.

Проверить тождество .

Определение

5.1.4.

Невырожденная квадратная матрица , для которой, называетсяортогональной.

Теорема

5.1.3.

Для ортогональной матрицы справедливо равенство .

Доказательство:

Умножая равенство последовательно справа и слева на, мы в силу определения 5.1.2. приходим к соотношению. Откуда находим, что, поскольку:

- определитель произведения квадратных матриц одинакового размера равен произведению определителей сомножителей;

- определитель матрицы не меняется при ее транспонировании;

- .

Теорема доказана.

Теорема

5.1.4.

Каждая ортогональная матрица второго порядка , для которой может быть представлена в виде , где  - некоторое число, а каждая ортогональная матрица с - в виде .

Доказательство:

Пусть матрица ортогональная, тогда должны быть справедливы равенстваи, следовательно,.

Последнее матричное равенство может быть записано в виде системы скалярных условий

причем из этих равенств, как было показано при доказательстве теоремы 5.1.3., следует, что . Рассмотрим вначале случай.

Если из суммы первого и третьего уравнений системы вычесть удвоенное равенство , то мы получим

или

откуда следует, что .

Наконец, из условий имеем оценки, которые позволяют ввести обозначения, приводящие к требуемому виду матрицыпоскольку из полученных соотношений следует, что.

Случай рассматривается аналогично.

Теорема доказана.

Следствие

5.1.1.

Матрица перехода от одного ортонормированного базиса на плоскости к другому ортогональная .

Доказательство:

В §1.8. было показано, что - матрица перехода от одной ортонормированной системы координат на плоскости к другой, может иметь один из двух следующих видов:или, где - угол между первыми базисными векторами. Но тогда матрица перехода ортогональная в силу теоремы 5.1.4.

Следствие доказано.