§3.3. Плоскость в пространстве

Определение

3.3.1.

Векторы иназываютсянаправляющими векторамиплоскостиS .

Теорема

3.3.1.

Множество радиус-векторов точек на плоскости S представимо в виде , гдеи- произвольные вещественные параметры.

Доказательство:

Пусть некоторая точка на плоскости, тогда векторы,ибудут компланарны. ( Рис. 3.3.1.)

Откуда, в силу теоремы 1.4.3. и леммы 1.4.1., получаем

и, следовательно, уравнение плоскости будет иметь вид

,

где .

Теорема доказана.

S

O

Рисунок 3.3.1.

Теорема

3.3.2.

Всякая плоскость в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида

.

Доказательство:

Условие компланарности векторов ,ив координатной форме имеет, в силу теоремы 1.6.3., вид

.

Откуда , или, окончательно, , где числаA ,BиCнаходятся по теореме 1.1.1. и равны соответственно

а , и таким образом, мы получили, что уравнение плоскости есть уравнение первой степени.

Условие невозможности одновременного равенства нулю чисел A,BиCвытекает из неколлинеарности векторовии следствия 2.5.1.

Теорема доказана.

Теорема

3.3.3.

Всякое уравнение вида в любой декартовой системе координат есть уравнение некоторой плоскости.

Доказательство:

Непосредственной проверкой убеждаемся, что уравнение в случаеможет быть записано в виде

,

а в случае в виде

.

В обоих случаях эти уравнения определяют плоскость, проходящую через некоторую заданную точку параллельно двум неколлинеарным векторам.

Теорема доказана.

Задача

3.3.1.

В системе координат составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные, попарно несовпадающие и не лежащие на одной прямой точки

.

Задача

3.3.2.

В системе координат составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точкуперпендикулярно ненулевому вектору.

Следствие

3.3.1.

Если плоскость задана в ортонормированной системе координат уравнением , где, то векторортогонален этой плоскости.

Определение

3.3.2.

Вектор называетсянормальным векторомплоскости.

Определение

3.3.3.

Вектор называетсяглавным векторомплоскости .

Задача

3.3.3.

В ортонормированной системе координат найти расстояние от точки M с радиус-векторомдо плоскости.

Решение:

1. ПустьKесть ортогональная проекция точкиMна данную плоскость, тогдаи. (См. рис. 3.3.2.)

2. ТочкаKпринадлежит данной плоскости, поэтому имеет место соотношение,

и, следовательно,

,

тогда для искомого расстояния получим

3. Рассмотрим теперьортонормированнуюсистему координат. В этом случае

M

K

O

Рисунок 3.3.2.

вектор будет нормальным вектором плоскости

Поэтому , но, принимая во внимание, что точкапринадлежит данной плоскости, то естьи что ,ответ задачи можно записать в виде

.

Теорема

3.3.4.

Плоскости ипараллельны тогда и только тогда, когда их главные векторы коллинеарны.

Доказательство:

Докажем достаточность. Если главные векторы коллинеарны, то существует такое число , что и система уравнений

может быть переписана в виде

.

При на этих плоскостях нет общих точек, а при- все точки общие, что и означает параллельность плоскостей.

Докажем необходимость.

Пусть плоскости ипараллельны. Тогда они должны пересекать одни и те же координатные плоскости по параллельным прямым.

Пусть для определенности этими координатными плоскостями являются плоскости, для которых и. Линии пересечения, соответствующие первой из координатных плоскостей, будут определяться системами уравнений

и.

Параллельность этих прямых означает существование такого, что .

Рассматривая случай , получаем аналогичную систему соотношений

и,

но из условия и параллельности этой пары прямых вытекает, что .

Теорема доказана.

Следствие

3.3.2.

Для того чтобы уравнения

и

были уравнениями одной и той же плоскости, необходимо и достаточно, чтобы существовало число такое, что

.

Определение

3.3.4.

Пучком плоскостей в пространстве называется совокупность всех плоскостей, проходящих через данную прямую.

Определение

3.3.5.

Уравнением пучка плоскостей, проходящих через прямую, определяемую пересечением пары непараллельных плоскостей

и

,

называется уравнение вида

.

Определение

3.3.6.

Связкой плоскостей в пространстве называется совокупность всех плоскостей, проходящих через данную точку.

Определение

3.3.7.

Если точка P, принадлежащая одновременно трем плоскостям

и

,

единственная, то уравнение вида

называется уравнением связки плоскостей, проходящих через точкуP.