Раздел 3 82
Прямая и плоскость
Раздел 3
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ
Как было показано, использование системы координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством точек пространства и множеством их радиус-векторов. Это, в свою очередь, позволяет свести исследование свойств линий, поверхностей или тел к изучению множеств радиус-векторов, соответствующих точкам, образующим исследуемые геометрические объекты.
Раздел 3 посвящен методам описания и исследования свойств простейших геометрических объектов - прямой и плоскости - средствами векторной алгебры. В разделах 3, 4 и 5 настоящего пособия будут использоваться обозначения координаты по оси абсциссчерезx, координаты по осиординатчерезyи координаты по осиаппликатчерезz, равно как и стандартные формы записи уравнений.
§3.1. Прямая на плоскости
Пусть дана система координат
на плоскости и прямаяL , проходящая
через точку
с лежащим на нейненулевымвектором
.
|
Определение 3.1.1. |
Вектор
|
называетсянаправляющим векторомпрямойL .
|
Теорема 3.1.1. |
Множество
радиус-векторов точек на прямой L
представимо в виде |
,где -
произвольный вещественный параметр.
|
|
Доказательство:
Пусть
| |
|
|
и, в силу теоремы 1.4.2.,
Откуда получаем пара- метрическое представление прямой
Теорема доказана. |
O |
некоторая точка на прямой, тогда вектор
должен быть коллинеарен вектору
(Рис. 3.1.1) ,
.
.
L
Рисунок3.1.1.
Найдем теперь координатное представление
множества радиус-векторов всех точек
прямой
.
Пусть
,
и
,
тогда справедливы теоремы
|
Теорема 3.1.2. |
Всякая
прямая в любой декартовой системе
координат может быть задана уравнением
вида |
.
|
|
Доказательство:
Условие коллинеарности ненулевых
векторов
Откуда
Теорема доказана. |
и
в координатной форме имеет вид
.
,
или же,
,
где
,
и мы получили, что уравнение прямой
есть алгебраическое уравнение первой
степени. Заметим, что справедливость
неравенства
следует из условия
.
|
Теорема 3.1.3. |
Всякое
уравнение вида |
,
в любой декартовой системе координат
есть уравнение некоторой прямой.
|
|
Доказательство:
Пусть дано уравнение первой степени
Возьмем точку
Теорема доказана. |
. Выберем пару чисел
и
таких, что
. Вычитая почленно два эти равенства,
получим
.
и вектор
.
По теореме 3.1.2. имеем, что прямая,
проходящая через точку
в направлении вектора
,
имеет уравнение вида
.
Следовательно, исходное уравнение
есть уравнение прямой.
Замечание: из теорем 3.1.1-3.1.3 следует, что каждое линейное уравнение в декартовой системе координат на плоскости задает некоторую конкретную прямую, но, с другой стороны, конкретная прямая на плоскости может быть задана бесчисленным множеством линейных уравнений.
|
Теорема 3.1.4. |
Для
того чтобы уравнения
|
и
были уравнениями одной и той же прямой,
необходимо и достаточно, чтобы
существовало число
такое, что
.
|
|
Доказательство достаточности:
Пусть коэффициенты уравнений
пропорциональны и имеет место
но поскольку
Аналогично из
|
|
|
Доказательство необходимости:
Пусть уравнения
С другой стороны, из равносильности
уравнений
Теорема доказана. |
.
Тогда
,
,
то
.
следует
.
и
есть уравнения одной и той же прямой
в некоторой декартовой системе
координат. Тогда их направляющие
векторы коллинеарны и существует (по
теореме 3.1.2.)
такое, что
.
и
следует, что
и, окончательно,
.
Замечание:
уравнение прямой не в любой системе
координат является алгебраическим
уравнением первой степени. Например, в
полярной системе координат (см. §4.6.) оно
может иметь вид
.