§2.5. Выражение векторного произведения в координатах
Пусть
задан базис
такой, что векторы
образуют правую тройку, и два вектора
и
,
координатные разложения которых в этом
базисе имеют вид
и
.
По свойствам 2 и 3 векторного произведения
Обозначим
через
и
попарные векторные произведения базисных
векторов
следующим образом:
.
Подставив
эти обозначения в выражение для
и использовав формулу связывающую
определители квадратных матриц 2-го и
3-го порядков (см. теорему 1.1.1.), получим
.
Случай ортонормированного базиса
Пусть
исходный базис
ортонормированный,
образующий правую тройку векторов,
тогда по определению 2.4.2.,
.
Тогда для векторного произведения векторов в ортонормированном базисе получаем
Из вышеприведенных формул вытекают полезные следствия:
|
Следствие 2.5.1. |
Для
того чтобы векторы
|
и
были коллинеарны, необходимо и
достаточно, чтобы в любой декартовой
системе координат
,
или же,
.
|
Следствие 2.5.2. |
В
ортонормированной системе координат
площадь параллелограмма, построенного
на векторах
причем
для плоского случая
|
и
,
вычисляется по формуле
,
.
§2.6. Смешанное произведение
|
Определение 2.6.1. |
Смешанным
(или векторно-скалярным)
произведением векторов
|
,
и
,
обозначаемым как (
,
,
),
называется число ( [
,
],
).
|
Теорема 2.6.1. |
Абсолютная
величина смешанного произведения
векторов ( |
,
,
)
равна
объему параллелепипеда, построенного
на векторах
,
и
.
При этом, если тройка векторов
,
,
некомпланарная
и
правая,
то их смешанное произведение
положительно, а если тройка некомпланарная
и левая, то - отрицательно.
|
|
Доказательство:
Если
| |
|
|
Теорема доказана. |
где
S
= | [
Наконец,
что и позволяет сделать заключение о знаке смешанного произведения. |
коллинеарен
,
то утверждение теоремы очевидно. Пусть
неколлинеарен
,
тогда, по определению скалярного
произведения,
,
Рисунок
2.6.1.
,
]
|
есть площадь параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
а
- высота параллелепипеда с основаниемS,
откуда (см. рис. 2.6.1.)
.
,
Свойства смешанного произведения
Для смешанного произведения справедливы тождества:
1.
;
2.
;
3.
,
справедливость которых следует из определения смешанного произведения и теоремы 2.6.1.
Отметим, наконец, что смешанное произведение равно нулю, если среди сомножителей имеется хотя бы одна пара коллинеарных векторов.