Раздел 9 244

Определение

9.1.1.

Пусть в линейном пространстве  каждой упорядоченной паре элементов x и y поставлено в соответствие число так, что

1.

2.

тогда говорят, что в заданбилинейный функционал (или билинейная форма).

Пример

9.1.1.

1. Произведение двух линейных функционалов и, определенных в,есть билинейный функционал.

2. Двойной интеграл

,

где функция двух переменных K(,) непрерывна на множестве , есть билинейный функционал в линейном пространстве непрерывных нафункций.

3. Билинейным функционалом является скалярное произведение векторов на плоскости или в пространстве.

Определение

9.1.2.

Числа называютсякомпонентами билинейного функционала в базисе, а матрица-матрицей билинейного функционала.

Теорема

9.1.1.

Пусть - матрица перехода от базиса к базису , тогда .

Доказательство:

По определению матрицы перехода от одного базиса к другому в (см. §7.3.), имеют место соотношения, но тогда

для всех .

Теорема доказана.

Следствие

9.1.1.

.

Доказательство:

Следует из теоремы 9.1.1., а также свойств детерминанта (теоремы 6.2.1. и 6.2.4.).

Следствие

9.1.2.

Ранг матрицы билинейного функционала не зависит от выбора базиса.

Доказательство:

Следует из теоремы 8.4.3. и невырожденности матрицы перехода .

Определение

9.1.3.

Билинейный функционал называетсясимметричным, если для любой упорядоченной пары элементов x и y линейного пространства имеет место равенство.

Теорема

9.1.2.

Для симметричности билинейного функционала в необходимо и достаточно, чтобы его матрица была симметрической.

Доказательство:

Необходимость следует из соотношений

.

Докажем достаточность. Действительно, если , то

.

Теорема доказана.