Умнов А.Е. ''Аналитическая геометрия и линейная алгебра'' / Приложение 03 - Комплексные числа

Приложение 3 72

Комплексные числа

Приложение 3

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Рассмотрим двумерное линейное пространство , изоморфное¹) линейному пространству радиус-векторов на плоскости.

Каждый элемент z пространства  в некотором базисе однозначно задается двухкомпонентным столбцом . Если за базисные элементы пространства  принять и , то произвольный элемент может быть представлен в виде .

Введем операцию умножения элементов пространства  по следующему правилу:

Определение Пр.3.0.1.

Результатом операции умножения элементов и пространства  является элемент также этого пространства .

Определение Пр.3.0.2.

Двумерное линейное пространство , с базисом {, }, в котором введена операция умножения элементов согласно определению Пр.3.0.1., называется множеством комплексных чисел, а каждый элемент  - комплексным числом.

Замечания: 1. Операция умножения комплексных чисел коммутативна и обладает распределительным свойством относительно операции сложения, что следует непосредственно из ее определения.

2. Операция умножения комплексных чисел позволяет ввести операцию деления: частным от деления комплексного числа на ненулевое называется комплексное число такое, что .

3. Нетрудно убедиться, что подмножество комплексных чисел вида , где  - произвольное вещественное число, в силу определения Пр.3.0.2., обладает всеми свойствами вещественных чисел, и потому можно говорить, что вещественные числа есть подмножество комплексных чисел.

На практике более употребительна специальная, упрощенная форма записи комплексных чисел: в представлении символ опускается (как бы заменяется не записываемым явно множителем “единица”), а символ заменяется символом i (называемым иногда “мнимой единицей”). Тогда произвольное комплексное число z представимо как , а записи операций с комплексными числами принимают следующий вид:

Данная форма записи удобна тем, что с комплексными числами можно оперировать как с обычными алгебраическими двучленами, если принимать во внимание, что , поскольку

.

Тогда, перемножая комплексные числа как двучлены и заменяя повсюду на число , мы формально приходим к соотношению

,

которое согласуется с введенным выше определением Пр.3.0.1.

Достаточно просто может выполняться также и операция деления:

.

Определение Пр.3.0.3.

Для комплексного числа : 1. Вещественное число  называется вещественной частью z и обозначается . 2. Вещественное число  называется мнимой частью z и обозначается . 3. Вещественное число называется модулем z и обозначается . 4. Вещественное число  такое, что и называется аргументом z и обозначается , при условии, что . 5. Комплексное число называется комплексно сопряженным числу z и обозначается .

Замечания: 1. Определения, аналогичные пунктам 1, 2 и 5, могут быть сделаны и для матриц, элементами которых являются комплексные числа.

2. Поскольку существует взаимно однозначное соответствие множества радиус-векторов на плоскости и множества комплексных чисел, то комплексные числа можно изображать точками на плоскости.

Свойства комплексного сопряжения

Имеют место следующие, легко проверяемые свойства для любых :

1. ;

2. Число z будет вещественным тогда и только тогда, когда ;

3. Число всегда вещественное и неотрицательное;

4. ;

5. Если многочлен с вещественными коэффициентами, имеющий корень , то этот многочлен также будет иметь и корень . Действительно, пусть , тогда

.

Замечание: если алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет комплексные корни, то они попарно сопряжены, а алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами нечетной степени имеет, по крайней мере, один вещественный корень.

Задача На множестве комплексных чисел решить уравнение .

Пр.3.0.1.

Решение: Перепишем это уравнение, приняв, что , то есть . Заметим, что здесь мы воспользовались развернутыми представлениями чисел и .

Выполнив умножение и сложение в правой части уравнения, приходим к равенству . Но поскольку два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда одновременно равны их вещественные и мнимые части, то мы получаем следующую систему нелинейных уравнений относительно вещественных неизвестных  и  :

,

которая, как легко видеть, имеет два решения и . Поэтому исходное уравнение также имеет два решения и .

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел

Исходя из определения Пр.3.0.3., можно получить специальную форму записи ненулевых комплексных чисел, называемую тригонометрической:

.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел соответствует заданию точки, изображающей комплексное число, в полярной системе координат.

Пусть - направляющим элементом полярной оси служит элемент , - значение модуля комплексного числа равно  - расстоянию от начала координат до точки, изображающей данное число, - значение аргумента совпадает с величиной полярного угла , отсчитываемого против часовой стрелки,

 z  i  0 1  Рисунок Пр.3.0.1.

тогда, согласно определению Пр.3.0.3., комплексное число представимо в тригонометрической форме

.

Другой часто используемой формой представления комплексных чисел, является их экспоненциальная форма, которая получается преобразованием тригонометрической формы по формуле Эйлера:

.

В этом случае из следует, что .

Использование экспоненциальной формы записи комплексных чисел может упростить решение некоторых задач, поскольку при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются¹).

Например,

или

.

Задача Найти какое-либо вещественное решение уравнения .

Пр.3.0.2.

Решение: Из формулы Эйлера следует, что , поэтому данное уравнение можно записать в виде или , где .

Откуда находим, что , то есть или окончательно .

1) Изоморфизм (см §7.5.) в данном случае означает, что операции сложения и умножения на вещественное число выполняются в данном множестве так же, как и для векторов на плоскости.

1) Обоснование обобщения свойств экспоненциальной функции вещественного аргумента на комплексный случай приводится в курсе ТФКП.