§6.4. Правило Крамера

Определение

6.4.1.

Упорядоченный набор чисел будем называтьрешением системы линейных уравнений, если при подстановке этих чисел в каждое из уравнений системы мы получаем тождество.

Теорема

6.4.1.

(Правило Крамера)

Если , то существует единственное решение системы линейных уравнений 6.4.1., определяемое формулами

, где

- определитель матрицы, получаемой из матрицы , заменой ее i-го столбца на столбец свободных членов .

Доказательство:

1. Получим вначале утверждение теоремы в предположении, что система (6.4.1.) имеет решение , то есть когда выполняются равенства

.

Умножив последовательно для всех обе части этих равенств на алгебраическое дополнениеи просуммировав результаты умножения по, получим

Изменим порядок суммирования (то есть выполним перегруппировку слагаемых) в левой части этого равенства:

.

Но выражение в круглых скобках равно (по теореме 6.3.2.), поэтому, учитывая, чтои, получаем.

Или, окончательно, .

2. Докажем теперь, что в условиях теоремы набор чисел есть решение данной системы линейных уравнений. Убедимся в этом, подставив значенияв левые части исходной системы линейных уравнений (6.4.1.).

Для получения последнего равенства мы снова изменили порядок суммирования и воспользовались теоремой 6.3.2.

Теорема доказана.

Определение

6.5.1.

Наивысший из порядков, отличных от нуля миноров матрицы , называетсярангом матрицы и обозначается .

Определение

6.5.2.

Любой ненулевой минор матрицы, порядок которого равен ее рангу, называется базисным минором.

Определение

6.5.3.

Столбцы (строки) матрицы, входящие в матрицу базисного минора, называются базисными.

Теорема

6.5.1.

(О базисном

миноре)

Всякий столбец (строка) матрицы есть линейная комбинация базисных столбцов (строк) этой матрицы.

Доказательство:

1. Пусть ранг матрицы равен . Без ограничения общности можно считать, что матрица базисного минора расположена в левом верхнем углу матрицы.

Окаймим матрицу базисного минора фрагментами i-й строки и j-го столбца и рассмотрим определитель построенной матрицы

,

который равен нулю как минор порядка в матрице ранга.

2. Разложив определитель  по последней строке, получим

,

где - базисный минор, а- некоторые алгебраические дополнения,не зависящие от i. Следовательно, , гдеи.

Теорема доказана

Определение

6.5.4.

Столбцы будем называтьлинейно зависимыми, если существуют не равные нулю одновременно числа такие, что.

Лемма

6.5.1.

Для того чтобы столбцы (строки) матрицы были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных.

Доказательство: Совпадает с доказательством леммы 1.4.1.

Лемма

6.5.2.

Если один из столбцов матрицы есть линейная комбинация некоторого подмножества остальных, то столбцы этой матрицы линейно зависимы.

Доказательство:

По лемме 6.5.1. можно утверждать, что среди столбцов матрицы есть подмножество линейно зависимых. Допустим, что линейно зависимыми являются первые столбцов, то есть для них существует нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому столбцу

Тогда очевидно, что нетривиальная линейная комбинация всех столбцов этой матрицы вида

будет также равна нулевому столбцу.

Лемма доказана.

Теорема

6.5.2.

Для того чтобы определитель был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его столбцы (строки) были линейно зависимыми.

Доказательство необходимости:

Пусть определитель равен нулю, тогда ранг его матрицы меньше n. По теореме о базисном миноре всякий столбец есть линейная комбинация базисных столбцов и тогда по лемме 6.5.2. столбцы матрицы линейно зависимы.

Доказательство достаточности:

Пусть столбцы матрицы линейно зависимы. По лемме 6.5.1. один из столбцов есть линейная комбинация остальных.

Пусть этот столбец последний, то есть . Умножим последовательно (дляi=1, 2, ... , n-1) i-й столбец на число и сложим все их. Вычитание этой суммы из столбцане изменит величины определителя, но поскольку при этом мы получим нулевой столбец, то определитель равен нулю.

Теорема доказана.

Теорема

6.5.3.

(О ранге

матрицы)

Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы равно максимальному числу линейно независимых строк матрицы и равно рангу матрицы.

Доказательство:

1. Если ранг матрицы нулевой, то все ее элементы нулевые и среди них нет линейно независимых.

Пусть ранг матрицы равен . Рассмотрим матрицу, составленную изr базисных столбцов матрицы. Она имеет ненулевой минор r-го порядка и, следовательно, ее столбцы линейно независимы.

2. Выберем столбцов матрицы и покажем, что эти столбцы линейно зависимы. Построим из выбранных столбцов матрицу. Ее ранг, посколькуявляется частью матрицы. Следовательно,и в матрицеесть, по крайней мере, один небазисный столбец, и тогда столбцы матрицылинейно зависимы по лемме 6.5.2.

Теорема доказана.