§11.5. Соотношение неопределенностей

Теорема

11.5.1.

(Соотношение

неопределен- ностей)

Для двух эрмитовых операторов и , заданных в унитарном пространстве, имеет место соотношение:

.

Доказательство:

1. Рассмотрим оператор (где - некоторый вещественный параметр), для которого эрмитово сопряженным будет оператор вида

,

ибо эрмитовыми являются следующие четыре оператора: . Заметим также, что оператор- эрмитов и что. (См. доказательство теоремы 10.8.2., пункт 1.)

2. Выразим оператор через операторы, получим:

3. Обозначим , причем отметим, что из предыдущего равенства следует эрмитовость операторакак линейной комбинации эрмитовых операторов. Подсчитаем теперь среднее значение эрмитова оператора:

.

Полученное значение есть вещественный квадратный трехчлен относительно, который должен быть неотрицательным при любом . Отсюда следует, что его дискриминант неположителен, то есть

, или окончательно .

Теорема доказана.