§11.4. Эрмитовы функционалы. Среднее значение и дисперсия эрмитова оператора
Как
и в любом линейном пространстве, в
унитарном пространстве можно ввести
билинейные и квадратичные функционалы.
Например, в унитарном пространстве
непрерывных комплекснозначных на
функций
билинейным по
и
функционалом является выражение
.
|
Определение 11.4.1. |
Квадратичный
функционал вида
|
,
где
,
а линейный оператор
- эрмитов, называетсяэрмитовым
функционалом
(или эрмитовой
формой)
в унитарном пространстве
.
|
Определение 11.4.2. |
Число
|
называетсясредним
значением эрмитова оператора
по a
- нормированному элементу из унитарного
пространства.
Замечания:
1.
Если a
- нормированный (то есть с
)
собственный вектор эрмитова оператора
с соответствующим собственным значением,
то
,
поскольку в этом случае
.
|
Евклидово пространство
|
Унитарное пространство |
|
Правило выноса константы из первого сомножителя в скалярном произведении:
|
Правило выноса константы из первого сомножителя в скалярном произведении:
|
|
Ортогональный
оператор
|
Унитарный
оператор
|
|
Ортогональная матрица:
|
Унитарная матрица:
|
|
В
ортонормированном базисе в
|
В
ортонормированном базисе в
|
|
Сопряженный
оператор
|
Эрмитово
сопряженный оператор
|
|
В
|
В
|
|
Самосопряженный оператор:
|
Эрмитово самосопряженный (эрмитов) оператор:
|
|
Симметрическая матрица:
|
Эрмитова матрица:
|
|
В
ортонормированном базисе в
|
В
ортонормированном базисе в
|
|
Из
собственных векторов само-сопряженного
оператора в
|
Из
собственных векторов эрмитова оператора
в
|
:
:
ортогональный оператор имеет
ортогональную матрицу
унитарный оператор имеет унитарную
матрицу
:
:
.
сопряженный оператор имеет матрицу
эрмитово сопряженный оператор имеет
матрицу
самосопряженный оператор имеет
симметрическую матрицу
эрмитов оператор имеет эрмитову
матрицу
можно образовать ортонормированный
базис
можно образовать ортонормированный
базис
Таблица 11.3.1.
2. Среднее значение эрмитова оператора, заданного в унитарном пространстве, вещественно.
Пусть
,
тогда
,
но если некоторое число равно своему
комплексному сопряжению, то оно
вещественно.
3.
Если принять, что оператор умножения
на константу
есть
,
где
- единичный оператор, то имеет место
соотношение
.
Действительно,
.
|
Определение 11.4.3. |
Число
|
называетсядисперсией
эрмитова оператора
по
нормированному
элементу
унитарного пространства a.
Отметим следующие свойства дисперсии:
|
Теорема 11.4.1. |
Дисперсия
|
эрмитова оператора
,
действующего в унитарном пространстве,
есть вещественное неотрицательное
число, для которого справедливо
равенство
.
|
|
Доказательство:
Покажем
вначале, что число
Оператор
|
вещественное и неотрицательное.
очевидно эрмитов, поскольку эрмитовыми
являются операторы
(по условию теоремы) и
(как оператор умножения на константу).
Тогда
|
|
С другой стороны, исходя из определения 11.4.2., получим
Теорема доказана. |
|
Теорема 11.4.2. |
Для
эрмитова оператора
|
,
действующего в унитарном пространстве,
дисперсия, взятая по его нормированному
собственному вектору, равняется нулю.
|
|
Доказательство:
Пусть
поскольку
Теорема доказана. |
,
тогда
.