Умнов А.Е. ''Аналитическая геометрия и линейная алгебра'' / Введение

10

Введение

ВВЕДЕНИЕ

От редактора серии

Отличительной чертой системы подготовки специалистов в Московском физико-техническом институте - "Школы Физтеха", является сочетание интенсивности обучения с высоким уровнем детализации и глубины изучаемых предметов, в первую очередь естественных наук. Кафедра высшей математики МФТИ как важный элемент этой системы с момента образования института продолжает вносить существенный вклад в ее формирование и совершенствование.

В активе кафедры колоссальный опыт в виде учебных курсов, оригинальных лекций по многим разделам современной математики, системы заданий, методических разработок, приемов, внутрикафедральных материалов, наконец, педагогического фольклора. На кафедре сформировался коллектив преподавателей, педагогически одаренных и обладающих педагогическим мастерством. Поэтому вполне естественно стремление сделать этот опыт всеобщим достоянием.

Многое уже отражено в известных учебниках, задачниках, созданных выдающимися математиками и педагогами, среди которых В.С.Владимиров, С.М. Никольский, Л.Д.Кудрявцев, М.В.Федорюк и многие другие. Без сомнения, эти ставшие уже классическими учебные пособия оказали и оказывают существенное влияние на математическое образование, как в России, так и за ее пределами.

Вместе с тем, есть еще немало того, что несомненно будет существенно полезным для улучшения подготовки специалистов. Естественным путем для выявления этого опыта, как нам представляется, могла бы быть серия "Лекции кафедры высшей математики МФТИ", и мы будем благодарны всем, кто окажет поддержку и посильную помощь в осуществлении данного проекта.

В настоящем издании читателю предлагается одна из книг задуманной серии - расширенный курс лекций, который профессор А.Е.Умнов ряд лет читает студентам первого курса Московского физико-технического института. Подготовка первого издания осуществлена при поддержке ООО "Промфинэнерго".

По содержанию и стилю изложения материала данная книга рассчитана на студентов физико-математических и технических специальностей высших учебных заведений с углубленной подготовкой по математике. В ней представлены как традиционные разделы аналитической геометрии, теории матриц, теории линейных систем и конечномерных векторных пространств, так и некоторые дополнительные разделы линейной алгебры, важные для студентов физических специальностей.

На кафедре высшей математики МФТИ лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре в разное время читали многие выдающиеся ученые и педагоги, такие как Ф.Р.Гантмахер, В.Б.Лидский, А.А.Абрамов, Д.В.Беклемишев, В.А.Треногин и другие. Сам автор, будучи последовательно студентом, аспирантом, преподавателем и профессором этой кафедры, не мог не испытать влияния своих учителей. Структура и дух его лекций вполне традиционны для кафедры высшей математики МФТИ. В изложении материала автор успешно сочетает, не злоупотребляя абстракциями, достаточно высокий уровень строгости с простотой и ясностью.

Предлагаемый читателям курс лекций А.Е.Умнова "Аналитическая геометрия и линейная алгебра" рекомендован кафедрой высшей математики Московского физико-технического института в качестве учебного пособия для студентов МФТИ. Эта книга также может быть использована в качестве учебного пособия и в других учебных заведениях с расширенной подготовкой по высшей математике.

Г.Н.Яковлев

Заведующий кафедрой

высшей математики МФТИ,

профессор

От автора

Данное пособие предназначено для студентов физических и технических специальностей высших учебных заведений с расширенной подготовкой по высшей математике. Его основной целью является введение в теорию линейных пространств - математический аппарат, используемый в разнообразных прикладных дисциплинах: от квантовой механики до методов оптимального управления. Имея в виду особую терминологическую специфику этой теории, ее описание предваряется изложением основ евклидовой геометрии, выполненным при помощи понятий, характерных для теории линейных пространств.

Включенный в пособие материал в основном соответствует программе курса “Аналитическая геометрия и линейная алгебра”, читаемого для студентов первого курса Московского физико-технического института. В пособии также рассматриваются некоторые дополнительные вопросы, облегчающие изучение студентами математического аппарата теоретической физики и, в первую очередь, квантовой механики. Задачи, небольшое число которых включено в состав пособия, по мнению автора, существенны для понимания курса в целом.

Предполагается, что читатель владеет основными понятиями курса элементарной геометрии, а также знаком в минимальном объеме с дифференциальным и интегральным исчислением.

Используемая система обозначений единообразна для всех разделов пособия, что привело к небольшим отличиям от традиционной системы обозначений, в частности:

- действительные числа, как правило, обозначаются строчными греческими буквами (исключение сделано лишь для декартовых координат x, y и z, целочисленных индексов и некоторых других стандартных обозначений);

- строчные латинские буквы, в основном, использованы для обозначения более сложных, чем действительные числа, объектов: векторов, комплексных чисел, элементов линейных пространств, функций, функционалов, операторов, а также различных геометрических объектов;

- матрицы обозначаются прописными латинскими буквами с двойными вертикальными ограничителями: например, ;

- во избежание конфликтов, для обозначений длин, абсолютных величин, модулей и норм используются одинарные вертикальные ограничители: например, , в то время как для обозначения определителей матриц этот вид ограничителей не применяется, а используется обозначение функционального вида: например, .

Автор выражает глубокую признательность преподавателям и сотрудникам кафедры высшей математики МФТИ, советы и замечания которых в большой степени способствовали улучшению пособия, и, в первую очередь, И.А.Чубарову, В.И.Чехлову, С.В.Ивановой и В.Б.Трушину.